Dreieck mit der Fläche höchstens$\frac{7}{12}$.

Aug 16 2020

Angenommen, es gibt sie$75$Punkte innerhalb eines Einheitswürfels, so dass keine drei Punkte kolinear sind. Beweisen Sie, dass es möglich ist, drei Punkte aus den oben angegebenen auszuwählen, die höchstens mit der Fläche ein Dreieck bilden$\frac{7}{12}$. Wie ist es möglich, die Fläche des Dreiecks aus diesen gegebenen Daten zu erhalten? Bitte helfen Sie. Danke im Voraus.

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4 JohnWhite Aug 16 2020 at 00:43

Teilen Sie den Einheitswürfel in 27 Würfel der Größe$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

Nach dem Schubladenprinzip enthält einer dieser Würfel 3 von 75 Punkten. Aus der gegebenen Bedingung heraus sind diese Punkte nicht kollinear. Sie bilden also ein Dreieck

In einem Seitenwürfel$a$, die maximale Fläche eines Dreiecks, die hineinpasst, ist$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Für Seite$\frac{1}{3}$, das ist$\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

Daher bilden diese drei Punkte ein Dreieck mit einer Fläche von weniger als$\frac{7}{12}$

MikaelHelin Aug 16 2020 at 00:55

Punkte wählen$(0,0,0)$und$(1,1,z)$und$(1,1,0)$. Fläche dieses Dreiecks ist$\frac{z}{\sqrt 2}$.

Jetzt wählen$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die verbleibenden 72 Punkte zu platzieren, also sollte es Möglichkeiten geben, um sicherzustellen, dass keine 3 Punkte nicht kolinear sind.

Die restlichen Punkte können beispielsweise in der Ebene liegen$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$und eine Kreisform bilden.