Eigenwerte einer fast diagonalen Matrix [Duplikat]

Question

Ich weiß, dass der Eigenwert einer Diagonalmatrix einfach die Werte in der Diagonale sind. Wenn ich jedoch eine Matrix der folgenden Form habe:

$$ \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & e & f \end{bmatrix}. $$Gibt es eine geschlossene Form, um die Eigenwerte dieser Matrix auszudrücken? Ich kann den Eigenwert der kleineren Blöcke entlang der Diagonale ableiten, aber in welcher Beziehung steht er zur Gesamtmatrix?

Answer 1

Die Eigenwerte einer Blockdiagonalmatrix sind die Eigenwerte jedes Blocks. Die entsprechenden Eigenvektoren sind die Eigenvektoren jedes mit Nullen aufgefüllten Blocks. Zum Beispiel:

Die Eigenwerte der Matrix $$A = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ sind $7$ und $1$und die entsprechenden Eigenvektoren sind jeweils $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}.$$

Die Eigenwerte der Matrix $$B = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ sind $2+\sqrt{2}$, $2$, und $2-\sqrt{2}$ und die entsprechenden Eigenvektoren sind jeweils $$\begin{bmatrix}1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Die Eigenwerte der Matrix $$\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ sind $7$, $1$, $2+\sqrt{2}$, $2$, und $2-\sqrt{2}$und die entsprechenden Eigenvektoren sind jeweils $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Answer 2

Wenn Sie eine Blockmatrix haben $$\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix},$$ sein charakteristisches Polynom ist $p_A(x)p_B(x)$.