Eine Berechnung im Bereich der rationalen Funktionen.
In Dummit and Foote 3 ed., Kapitel 14, Abschnitt 2, Übung 30, werde ich wie folgt gefragt:
Lassen $ k $ ein Feld sein, $ k(t) $ das Feld der rationalen Funktionen in der Variablen $ t $. Definieren Sie die Karten$ \sigma $ und $ \tau \in Aut(k(t)/k) $ durch $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ zum $ f(t) \in k(t) $. Beweisen Sie, dass das feste Feld von$ \langle \tau \rangle $ ist $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $, das feste Feld von $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ ist $ k(t(1-t)) $;; Bestimmen Sie das feste Feld von$ \langle \tau \sigma \rangle $ und $ \langle \sigma \rangle $.
Der einzige Teil davon, mit dem ich zu kämpfen habe, ist das feste Feld von $ \langle \sigma \rangle $. Nennen Sie dieses feste Feld$ E = k(s) $, wo $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $ist eine rationale Funktion. Beachten Sie , dass ich hier davon ausgehe, dass$ E $ ist von der Form $ k(s) $und kann dies bisher nicht a priori rechtfertigen . Ich habe in einer früheren Übung aus dem letzten Kapitel gezeigt, dass$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $also seit $ k(t)/k(s) $ ist eine Galois-Erweiterung ($k(s)$ Ich gehe davon aus, dass dies das feste Feld einer Untergruppe von Automorphismen ist $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ Alles, was ich zu diesem Zeitpunkt erreichen konnte, war das Lösen von Brute-Force-Gleichungen per Computer und Einstellung $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ und Lösen der Gleichungen, die sich aus ergeben $ \sigma s = s $. Ich habe damit das Element gefunden$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $. Daher bin ich geneigt, daraus zu schließen$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ ist das feste Feld von $ \langle \sigma \rangle $. Dieser Ansatz fühlt sich unelegant an, und ich würde gerne wissen, welche Tools ich möglicherweise verwendet habe, um eine unbefriedigende und undurchsichtige Computersuche zu vermeiden.
Antworten
Zum $G$ eine endliche Untergruppe von $Aut(k(t)/k)$ dann ist das feste Unterfeld $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$ wo $\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$.
Nehmen Sie dann einen nicht konstanten Koeffizienten $a_m(t)$, weil jeder $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ ist eine Möbius-Transformation, die wir bekommen $a_m(t)$ hat höchstens $|G|$ mit Multiplizität gezählte Pole (einschließlich des Pols bei $\infty$), also $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ was impliziert, dass $$k(t)^G=k(a_m(t))$$
Edit by OP: Für dieses Problem erzeugt die Technik das Element $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $, Überprüfung der Computerberechnungen.