Eine Folge von Doobs Ungleichheit für allgemeine Submartingale
Ich habe versucht, das folgende Ergebnis zu beweisen:
Lassen $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$sei ein Submartingale oder Supermartingale. Verwenden Sie Doobs Ungleichung und Doobs Zerlegung, um dies für alle zu zeigen$n \in \mathbb N$ und $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ wo $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.
Die Version von Doobs Ungleichung, die wir verwenden, ist die für jede $p \geq 1$, $\lambda > 0$und Martingal oder positives Submartingal $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ Es reicht aus, dieses Ergebnis zu beweisen, wenn $X$ist ein Submartingal. Verwendung von Doobs Zerlegung$X = M+A$, $M$ ein Martingal und $A$ ein zunehmender vorhersehbarer Prozess mit $A_0 = 0$ (so $A$ist eine positive Submartingale), man kann tatsächlich eine stärkere Ungleichung zeigen. In der Tat seit$A$ ist positiv und nimmt zu, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. Und seit$A_0 = 0$:: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ woraus folgt das $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ Unter Verwendung dieser Ungleichungen folgt daraus \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} Meine Frage ist zweifach:
- Gibt es einen Fehler in diesem Argument, z. B. einen Fehler in meinen Annahmen oder eine ungerechtfertigte Annahme, die ich nicht bemerke? Und wenn nicht,
- Gibt es einen Grund, warum das Buch, das ich verwende (Klenkes Wahrscheinlichkeitstheorie: Ein umfassender Kurs ), die Koeffizienten verwendet$12$ und $9$ lieber als $9/2$ und $6$? Ist das angegebene Ergebnis irgendwie klassischer oder leichter zu zeigen, wenn grundlegendere Eigenschaften von Martingalen und die Doob-Zersetzung verwendet werden?
Dieses Problem wurde auch hier diskutiert , aber dieser Thread befasst sich nicht wirklich mit der scheinbaren Beliebigkeit der Koeffizienten$12$ und $9$. Kann jemand einen Einblick geben?
Antworten
Dies ist nur ein Teil einer Antwort, da ich Ihren Beweis oder die verwendeten Techniken nicht anspreche, aber es ist zu lang für einen Kommentar. Meine Intuition ist, dass die Koeffizienten willkürlich sind, weil sie nicht optimal sind. Hier ist eine mögliche Verbesserung, die ich dem Buch Brownian Motion, Martingales und Stochastic Calculus von Jean-François Le Gall (S.263) entnommen habe.
Maximale Ungleichung Wenn$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist dann ein Supermartingale für alle $\lambda>0$ und $k\in\mathbb{N}$:: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
Beweis (nicht im Buch). Fix$\lambda>0$ und $k\in\mathbb{N}$. Lassen$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. Definieren Sie die Stoppzeit$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$und beachte das $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. Schon seit$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist ein Supermartingale $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ Nun lass $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ und $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. Wir haben$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ Das Umordnen und Summieren der beiden Ungleichungen ergibt $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ Übrigens haben wir auch bewiesen, dass eine noch bessere Obergrenze ist $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.