Eine Frage in Antwort eines Benutzers in der Frage jede Bijektion$f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$hat unendlich viele Diskontinuitäten

Question

Diese besondere Frage:

Zeigen Sie, dass jede Bijektion$ f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$hat unendlich viele Unstetigkeitsstellen.

wurde in einem Quiz von mir gefragt.

Da ich es nicht lösen konnte, suchte ich auf MSE. Ich habe diese spezielle Lösung gefunden.

Unstetigkeitsstellen einer bijektiven Funktion$f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$

Aber ich habe eine Frage in Lösung. Aber sowohl der Fragesteller als auch der Antwortende sind sehr lange nicht auf der Website zu sehen.

Also stelle ich meine Zweifel als separate Frage:

Wie leitet der Autor das in der dritten Antwortzeile im obigen Link ab?$f(I_m)$ist ein offenes Intervall? Das bedeutet es$f$ordnet offene Intervalle offenen Intervallen zu? Wieso den?

Kann jemand bitte eine strenge Antwort geben?

Answer 1

Wenn$f$ist stetig und injektiv auf einem offenen Intervall$(a,b)$dann$f$ist monoton. Vermuten$f$nimmt zu. Durch IVP stetiger Funktionen ist das Bild ein Intervall, nennen wir es$I$. Angenommen, dieses Intervall enthält einen seiner Endpunkte. Sagen$I=[t,s)$. Dann$t=f(x)$für einige$x \in (a,b)$. Wählen Sie eine aus$s$zwischen$a$und$x$. Dann$f(s) <f(x)=t$ein Widerspruch. Ähnlich,$I$kann seinen rechten Endpunkt nicht enthalten.

Answer 2

Ein offenes Intervall ist eine zusammenhängende Menge, und$f$ist stetig, also$f[I_m]$Ist verbunden. Die einzigen verbundenen Teilmengen der realen Linie sind Intervalle (offen, halboffen oder geschlossen), Strahlen (offen oder geschlossen) und$\Bbb R$selbst, also$f[I_m]$. Wenn Sie mit dem allgemeinen topologischen Begriff der Verbundenheit nicht vertraut sind, können Sie das mit dem Zwischenwertsatz zeigen$f[I_m]$muss einer dieser Typen sein. Der entscheidende Punkt ist, dass dies die konvexen Teilmengen von sind$\Bbb R$: wenn$x$und$y$Mitglieder einer dieser Mengen sind, und$x<z<y$, dann$z$ist auch ein Mitglied dieser Menge.

Wie im Beweis ausgeführt wird,$f\upharpoonright I_m$, das stetig und injektiv ist, ist (streng) monoton, also entweder streng ordnungserhaltend oder streng ordnungsumkehrend. Seit$I_m$ein offenes Intervall oder ein offener Strahl ist, bedeutet dies, dass$f[I_m]$muss auch ein offenes Intervall oder ein offener Strahl sein: Wenn es einen Endpunkt hätte, müsste dieser Endpunkt das Bild eines Endpunkts von sein$I_m$.