Einfache Generierungsfunktion funktioniert nicht so, wie ich sie interpretiere?

Question

Angenommen, wir lassen A alle Folgen von Nullen und Einsen mit erzeugender Funktion sein$F (z) = 1/(1 − 2z)$.

Angenommen, wir können jedem eine einfache oder doppelte Primzahl hinzufügen$0$oder$1$, geben$0′$oder$0′′$oder$1′$oder$1′′$, und wir wollen eine erzeugende Funktion für die Anzahl unterschiedlicher gestrichener Bit-Strings mit$n$angehängte Primzahlen.

Der Satz {$’$,$’’$} hat erzeugende Funktion$G(z) = z + z^2$die zusammengesetzte Menge hat also erzeugende Funktion$$F (G(z)) = 1/(1 − 2(z + z^2 ))= 1/(1 − 2z − 2z^2 )$$

In diesem, wenn ich den Koeffizienten extrahiere$z^2$, Ich bekomme$6$, aber wenn ich die Hand zähle, sollte es sein$12$. ich habe$6$aus$1 + 2(z + z^2 )+ 4(z + z^2 )^2$, und die$12$kommt von jeder Option als Starter mit zwei Optionen für eine sekundäre Wanne$n = 2$.

Ich bin verwirrt, warum ich bekomme$6$, denn wenn ich selbst zähle, bekomme ich Paare$(0,0’’), (0,1’’), (1,1’’), (1,0’’), (0’ ,0’), (0’ ,1’), (1’ ,1), (1’ ,0), (0’’ ,0), (0’’ ,1), (1’’ ,1), (1’’ ,0)$welches ist$12$

Ich könnte falsch interpretieren, was das n sein soll? Ich dachte, es sollte dem Gewicht des Begriffs so entsprechen$z^2$hätte$n=2$?

Oder interpretiere ich falsch, was diese Erzeugungsfunktion zählt?

Answer 1

$G(z)$ist nicht die GF für$\{',''\}$weil sie keine Zahlen oder eine Folge sind.

$G(z)=z+z^2$ist die GF für$a_1=1, a_2=1, a_n=0, n\ge2$.

Deine Freundin ist A002605 ,$a_n = 2(a_{n-1} + a_{n-2})$.