Einschränkungen, unter denen$\rho(x, y) = |x - y|^d$erfüllt die Dreiecksungleichung

Question

Kann man das rein algebraisch (ohne gleich auf Gegenbeispiele zurückzugreifen) beweisen?$\rho(x, y) = |x - y|^d$erfüllt die Dreiecksungleichung nicht$\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$zum$d = 2$? Und unter welchen Einschränkungen$x, y, z$erfüllt es die Ungleichung? Ich versuche herauszufinden, warum$\rho$kann kein gültiger Messwert für sein$\mathbb R$.

Bonusfrage: Für welche anderen Werte$d \in \mathbb R$tut$\rho$die Dreiecksungleichung nicht erfüllen.

Answer 1

Die Ungleichung ist äquivalent zu$(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$zum$a, b \geq 0$. Putten$a=b=1$wir sehen das$2^{d} \leq 2$. Somit$d \leq 1$ist eine notwendige Bedingung. Für alle$d \in (0,1]$die Ungleichung gilt. Dies kann durch Beobachtung bewiesen werden$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ist abnehmende Funktion von$a$und verschwindet wann$a=0$.

Wann$d<0$,$|x-y|^{d}$ist nicht einmal definiert wann$x=y$es ergibt also keine Metrik.$d=0$bleibt dir überlassen.