$\ell^1$ Funktor als linker Zusatz zum Einheitsballfunktor
In einem Kommentar zu dieser Antwort
https://mathoverflow.net/a/38755/1106
Yemon Choi bemerkt, dass "The $\ell^1$ functor ist der kostenlose Banach-Space-Funktor, der neben dem vergesslichen Unit-Ball-Funktor steht. "
Diese Aussage fasziniert mich, aber ich bin mir nicht ganz sicher, über welche Kategorien und Funktionen Yemon hier spricht. Ich stelle mir vor, dass wir auf der einen Seite die Kategorie der Banach-Räume (mit welchen Karten?) Haben, aber was ist mit der anderen? Wenn jemand hier die Details eintragen kann, würde ich mich sehr freuen. Wenn jemand Verweise auf einen Text zur Funktionsanalyse hat, der diese Perspektive einnimmt, würde ich mich auch über diese Antwort freuen.
Antworten
Sie möchten die Kategorie übernehmen $\text{Ban}_1$von Banachräumen und kurzen Karten (lineare Karten der Operatornorm$\le 1$). Die Einheit Ball Funktor$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ wird vertreten durch $\mathbb{C}$und sein linker Adjunkt sendet einen Satz $S$ zum Nebenprodukt von $S$ Kopien von $\mathbb{C}$, was sich herausstellt $\ell^1(S)$. Dies besagt, dass wir eine natürliche Bijektion haben
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
was besagt, dass eine Karte aus einem Set $S$ zur Einheitskugel $U(B)$ eines Banachraums erstreckt sich einzigartig und frei auf eine kurze Karte $\ell^1(S) \to B$durch "Linearität".
Intuitiv sagt dies das aus $\ell^1(S)$ wird erhalten von $S$ indem verlangt wird, dass jedes Element von $S$ Norm haben $1$ (so dass es in der Einheitskugel ist und in Kürze auf jedes andere Element einer anderen Einheitskugel abgebildet werden kann) und dann nach einer linearen Kombination fragen $\sum c_s s$haben die größtmögliche Norm, die damit kompatibel ist (so dass sie in Kürze auf jede andere solche lineare Kombination in jedem anderen Banach-Raum abgebildet werden kann). Wir haben$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ durch die Dreiecksungleichung und die $\ell^1$ Norm ist der Gleichheitsfall davon.
Diese Konstruktion verallgemeinert sich auf die Konstruktion des Nebenprodukts in $\text{Ban}_1$, was so aussieht: wenn $B_i$ ist eine Sammlung von Banach-Räumen, deren Nebenprodukt in $\text{Ban}_1$ ist die Vervollständigung der direkten Summe des Vektorraums $\bigoplus_i B_i$ in Bezug auf die "$\ell^1$ Norm" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
Entschuldigung für die Eigenwerbung, aber ich gehe etwas detaillierter auf kategoriale Eigenschaften von $\text{Ban}_1$(z. B. ist es vollständig, vollständig und geschlossen, symmetrisch monoidal) in meinem Blogbeitrag Banach Spaces (und Lawvere-Metriken und geschlossene Kategorien) . Insbesondere versuche ich, die Verwendung von kurzen Karten zu motivieren. Beachten Sie, dass wir, wenn wir nur mit begrenzten linearen Karten arbeiten, nicht hoffen können, einen Banach-Raum bis zur Isometrie über eine universelle Eigenschaft wiederherzustellen, während die Isomorphismen in$\text{Ban}_1$sind isometrisch. Andererseits kann die kategoriale Sprache über die geschlossene Struktur immer noch über begrenzte Karten sprechen.
Bang (Ban, geometrisch) bezeichne die Kategorie, deren Objekte Banach-Räume sind und deren Morphismen die linearen Karten sind, die Norm haben $\leq 1$. (Wir können entweder über reale oder komplexe Skalare arbeiten.) Sei Set die Kategorie, deren Objekte Mengen und deren Morphismen Funktionen sind.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
Es gibt einen Funktor $\Ball$von Bang bis Set, das jedem Banach-Raum seinen geschlossenen Einheitskugel zuweist; Die Bedingung für die Morphismen von Bang stellt sicher, dass jeder$f:X\to Y$ in Bang beschränkt sich auf eine Funktion $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
Was würde ein Linker anhängen $\Ball$aussehen? Wir können die Beschreibung / Charakterisierung in Bezug auf Anfangsobjekte in Kommakategorien verwenden. Also für jeden Satz$S$ Wir wollen einen Banach-Raum $F(S)$ und eine Funktion $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ mit der folgenden universellen Eigenschaft: wann immer $E$ ist ein Banachraum und $h:S\to \Ball(E)$ ist eine Funktion, es gibt einen einzigartigen Bang-Morphismus $T: F(S)\to \Ball(E)$ so dass $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ als Funktionen.
Entschlüsselung der Definitionen der verschiedenen Morphismen: Was wir brauchen, ist das für jede Funktion $h$ von $S$ zu $E$ befriedigend $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ für alle $j\in S$sollte es eine eindeutige lineare Karte geben $T: F(S) \to E$ so dass $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ für alle $v\in F(S)$ und $T(\eta_S(j))=h(j)$ für alle $j\in S$.
Nachdem wir versucht haben, die Dinge zu motivieren, machen wir den Ansatz . Definieren$F(S)$ der Banach Raum sein $\ell_1(S)$ mit seiner üblichen Norm $\Vert\quad\Vert_1$;; Lassen$(e_j)_{j\in S}$ bezeichnen die kanonischen Basis bectors in $\ell_1(S)$. Der einzig mögliche Kandidat für die lineare Karte$T:\ell_1(S) \to E$ ist: definieren $T(e_j):= h(j)$ für jedes $j$und erstrecken sich durch Linearität und Kontinuität. Um zu sehen, dass dies funktioniert, beachten Sie dies für jeden$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ wir haben
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
Fazit: Im Wesentlichen sagt das obige Argument, dass eine begrenzte lineare Karte aus $\ell_1(S)$ zu einem Banach Raum $E$ definiert eine begrenzte Funktion $S\to E$und das umgekehrt jede begrenzte Funktion $S\to E$ hat eine einzigartige begrenzte lineare Ausdehnung $\ell_1(S)\to E$. (Beachten Sie, dass dieser Absatz, der eher in der Sprache der Analysten als in der Sprache der Kategoristen angegeben ist, etwas allgemeiner ist, da ich nicht alles für eine Norm benötige$\leq 1$;; Eine Beschränkung auf Bang scheint jedoch unabdingbar, wenn man eine nette Aussage über diese Analyse-Tatsache in der Sprache der Zusätze erhalten möchte.)
Eigentlich können wir noch weiter gehen und sagen, dass der Adjunktionsisomorphismus $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, die a priori nur eine sich natürlich verhaltende Bijektion von Mengen ist, kann zu einem Isomorphismus in Bang angereichert werden: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
Dies ist Übung 20 auf Seite 167 in Vorlesungen und Übungen zur Funktionsanalyse von Helemskii .
Eine ausführlichere Diskussion führt Jiří Rosický in Sind Banach-Räume monadisch? , arXiv: 2011.07543 .