Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren in QFT
Wie ich bereits sagte, bin ich kein QFT-Experte, aber ich versuche, die Grundlagen seiner strengen Formulierung zu verstehen.
Nehmen wir Dimocks Buch , in dem die Grundlagen von QM und QFT diskutiert werden. Betrachten wir beispielsweise zwei Teilchen, von denen eines in einem Hilbert-Raum lebt$\mathcal{H}_{1}$ und der andere in einem anderen Hilbert-Raum $\mathcal{H}_{2}$Die Beschreibung des Zustands des Zweipartikelsystems erfolgt in Bezug auf das Tensorprodukt $\mathcal{H}^{(2)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \mathcal{H}_{2}$. Natürlich könnten wir weiter gehen und ein System studieren$\mathcal{H}^{(N)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_{n}$. Wenn alle Partikel identisch sind, dann$\mathcal{H}_{1}=\cdots = \mathcal{H}_{n} \equiv \mathcal{H}$ und wir müssen symmetrische und antisymmetrische Teilräume von berücksichtigen $\mathcal{H}^{(N)}$, die der Tatsache entsprechen, dass Partikel entweder Bosonen oder Fermionen sein können. An dieser Stelle werden Symmetrisierungs- und Antisymetrisierungsoperatoren definiert. Der nächste Schritt besteht darin, ein System mit einer beliebigen Anzahl von Partikeln zu betrachten. An dieser Stelle definiert man Fock-Räume$\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$für Bosonen und Fermionen. Außerdem werden Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren definiert$a(h)$ und $a^{\dagger}(h)$ auf $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H})$.
Soweit ich weiß, ist dies alles Quantenmechanik , nicht QFT. Diese Ideen scheinen jedoch in QFT Analoga zu finden, und dies ist der Punkt, an dem ich verwirrt bin.
In Abschnitt I.5 des Buches von Feldman, Trubowitz und Knörrer wird kurz auf (fermionische) QFT eingegangen, und es wird festgestellt, dass in diesem Zusammenhang Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren spezielle Familien sind$\{\varphi^{\dagger}(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ und $\{\varphi(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ auf einem Hilbert-Raum $\mathcal{H}$. Dies unterscheidet sich stark von den oben genannten Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren. Zum Beispiel sind dies jetzt Familien von Operatoren, die von indiziert werden$x$ und $\sigma$. Ich glaube, dies spiegelt die Tatsache wider, dass wir von QM zu QFT übergegangen sind. Aber ich bin hier wirklich verloren und weiß nicht, was der Unterschied zwischen diesen beiden Konstruktionen und Definitionen ist. Kann mir bitte jemand helfen? Ich bin hauptsächlich daran interessiert, den zweiten Ansatz zu verstehen , da der erste, von dem ich glaube, dass ich ihn verstehe (zumindest ausreichend gut). Wenn Sie zusätzlich eine Referenz vorschlagen könnten, in der diese Ideen von Feldman, Trubowitz und Knörrer ausführlicher und strenger diskutiert werden, würde ich mich freuen!
ADD: Basierend auf dem Buch von Feldman, Trubowitz und Knörrer scheint mir das Verständnis dieser Objekte (genauer gesagt der Objekte, die sie auf den ersten beiden Seiten von Abschnitt I.5 kurz beschreiben) von grundlegender Bedeutung für das Verständnis der Formulierung von eine Reihe von QFT-Modellen (zumindest für Fermionen). Daher würde ich mich freuen, wenn jemand etwas mehr über die Struktur dieser Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren und ihre Verbindungen zum Quantenfall herausfinden könnte, die erforderlich sind, um den Rest der Diskussion über FTKs Buch zu verstehen. Mit anderen Worten, ich denke, ich muss diese ersten Definitionen nur besser verstehen (und wie hängen sie mit dem üblichen Quantenfall zusammen, den ich (anscheinend) kenne), um den Rest des Textes verstehen zu können.
Antworten
Die Verbindung kann durch Nehmen gesehen werden $H = L^2(\mathbb{R}^3)$in der ersten Erklärung. Dies ist der Hilbert-Raum eines nichtrelativistischen, spinlosen, dreidimensionalen Teilchens. Durch direkte Summierung der symmetrischen (antisymmetrischen) Tensorkräfte von$H$Wir erhalten den Hilbert-Raum eines Ensembles nicht wechselwirkender bosonischer (fermionischer) nichtrelativistischer, spinloser, dreidimensionaler Teilchen, die als Fock-Raum bekannt sind. Das$n$Die Tensorleistung repräsentiert die Zustände, in denen $n$ Partikel sind vorhanden.
Jetzt haben wir Operatoren "Schöpfung" und "Vernichtung", die Zustände in der $n$Die Tensorkraft in die $(n \pm 1)$st Tensorleistung. Für jeden Staat$h$ im ursprünglichen Hilbert-Raum $H$ Es gibt einen Erstellungsoperator, mit dem Tensoren arbeiten $h$ und symmetrisiert (antisymmetrisiert), wobei die $n$Die Tensorkraft in die $(n+1)$st und sein Adjunkt, der in die entgegengesetzte Richtung geht und einen Tensorfaktor von entfernt $h$.
In der Physikliteratur arbeitet man normalerweise mit idealisierten Erzeugungs- / Vernichtungsoperatoren, für die der Staat $h$ ist eine fiktive Dirac-Delta-Funktion, die an einem bestimmten Punkt von konzentriert ist $\mathbb{R}^3$. Dies wird in Ihrer zweiten Erklärung beschrieben. Wie in der Physik üblich, ist der Hilbert-Raum nicht spezifiziert, aber bei freien Feldern entspricht er in der ersten Erklärung dem Fock-Raum.
Der Fock-Raum ist nicht ausreichend, um interagierende Felder zu modellieren (tatsächlich werden hier die mathematischen Probleme tiefgreifend und grundlegend ungelöst). Es ist jedoch nicht trivial; Zum Beispiel kann man freie Quantenfelder vor einem gekrümmten Raumzeithintergrund untersuchen und Hawking-Strahlung, den Unruh-Effekt usw. ableiten. Die Quantenfeldtheorie in der gekrümmten Raumzeit- und Schwarzloch-Thermodynamik von Wald ist eine ausgezeichnete, mathematisch strenge Erklärung für diese Einstellung.
In QFT ist die Intuition, dass man an jedem Punkt des Raumes einen eigenen Hilbert-Raum hat und sein Tensorprodukt nimmt, um den Hilbert-Raum des gesamten Feldes zu erhalten. Ich habe angegeben, wie der Fock-Raum intuitiv ein "messbares Tensorprodukt" einer Familie von harmonischen Oszillatoren (bosonischer Fall) oder Zwei-Zustands-Systemen (fermionischer Fall) modelliert, die durch alle Punkte des Raums in meiner Antwort hier indiziert sind . Eine vollständige Erklärung finden Sie in Abschnitt 2.5 meines Buches Mathematische Quantisierung .
Haftungsausschluss: Ich bin kein mathematischer Physiker.
Selbst mit einem Hilbert-Raum, nämlich dem Quantenharmonischen Oszillator , können Sie "Schöpfungs-Vernichtungs" -Operatoren definieren, außer dass sie in diesem Fall einfach das Energieniveau des Einzelteilchensystems erhöhen oder verringern.
Nun betrachten Sie den Fock-Raum $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$ so wie Sie es oben beschrieben haben: Es ist tatsächlich ein Funktor, daher das berüchtigte Sprichwort, dass die zweite Quantisierung ein Funktor ist.
Darin definieren Sie die beiden Operatoren erneut, interpretieren sie jedoch neu als Leiteroperatoren, die aus dem Grundzustand Partikel erzeugen und zerstören. Formal verhalten sie sich sehr ähnlich wie beim harmonischen Spielzeugoszillator, und diese Analogie ist weitreichend:
Im Grunde sagt es Ihnen, dass das vom Fock-Funktor beschriebene Quantenfeld "angeregt" werden kann: Teilchen sind Anregungen der Leere (tatsächlich gibt es einige schöne Bilder von Quantenfeldern als (unendliche) Ensembles von (gekoppelten) harmonischen Oszillatoren, siehe hier ).
Was hat das mit der zweiten Definition zu tun? Wenn das Quantenfeld Teilchen erzeugt und vernichtet, kann es dies an jedem Punkt Ihres Umgebungsraums tun . Daher die Indizes ...