$f$ ist kontinuierlich iff $G(f)$ ist eine geschlossene Menge in metrischen Räumen [Duplikat]

Question

Die Grafik von $f$ ist $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ und $Y$ sind metrische Räume. $Y$ ist kompakt.

$f$ ist kontinuierlich iff $G(f)$ ist ein geschlossener Satz.

Ich habe hier die genaueste Antwort bekommen , aber ich habe es zuerst selbst versucht und bin irgendwann festgefahren, und ich brauche Hilfe in dieser speziellen Situation, die ich sonst nirgends bekommen habe.

$\Rightarrow$ Teil: Lassen Sie $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ eine konvergente Folge von sein $G(f)$. Wenn$(x,y)$ist seine Grenze. Das müssen wir zeigen$y=f(x)$ mit anderen Worten $(x,y)\in G_f$.

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[Durch Kontinuität von $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$durch die Eindeutigkeit der Grenze. Daher$G_f$ ist geschlossen.

$\Leftarrow$ Teil: Lassen Sie $x\in X$ und $(x_n)$ eine konvergente Sequenz mit Limit $x$. Das muss man beweisen$(f(x_n))$ ist konvergent in $Y$ mit limit $f(x)$. Ich habe die Sequenz verwendet$z_n=(x_n,f(x_n))$ und $G_f$ ist im kompakten Raum geschlossen $Y$ und daher $G_f$ist kompakt. Dann gibt es eine Folge$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. Dann werden wir haben$y=f(x)$ aber wie beweise ich das? $f(x_n) \to f(x)$? Es ist wahr, dass jede Teilfolge von$f(x_n)$ hat eine Teilsequenz, die zu konvergiert $f(x)$.

Answer 1

Aus dem Kommentar habe ich meine Antwort erhalten, die aus diesem Lemma stammt:

Lemma Let$Y$ ein kompakter metrischer Raum sein und $(y_n)$ eine Sequenz, zu deren Begriffen gehört $Y$. Wenn jede konvergente Teilfolge von$(y_n)$konvergiert an die gleiche Grenze$\ell\in Y$, dann $(y_n)$ konvergiert zu $\ell$.

Beweis Nehmen wir das Gegenteil an. Dann existiert es$\epsilon>0$, so dass :

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

Dies ermöglicht es uns, eine Teilsequenz zu konstruieren $(y_{n_k})$ so dass :

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

Nun extrahieren aus $(y_{n_k})$ eine konvergente Teilsequenz: ihre Grenze $\ell$ aus der Hypothese und damit bekommen wir $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...

Ein Widerspruch!

Jetzt kann jemand diese Antwort schließen, aber ich kann sie in meinen Unterlagen aufbewahren und ob jemand auf diese Weise vorgehen wird. Sie werden Hilfe bekommen. Ich habe die Frage gestellt, weil ich einen der offensichtlichen Wege überprüft habe, die uns in den Sinn kommen können. Vielen Dank!