Finden Sie die Summe der Serien $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} $ [Duplikat]
Finden Sie die Summe der Serien $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} $
$My \ attempt :$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} \\ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} $$ Aber ich weiß nicht, ob mich das irgendwohin bringt.
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Schon seit
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$$
Wir können differenzieren, um zu bekommen
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=e^x\implies \sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n}}{n!}=xe^x$$
wieder differenzieren, das verstehen wir
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2x^{n-1}}{n!}=xe^x+e^x=(1+x)e^x$$
einstecken $x=1$, das verstehen wir
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}=2e$$
$$S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1)+n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n=1)!} \right)$$ $$=\sum_{p=-1}^{\infty} \frac{1}{p!}+\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!}=e+e=2e$$ Beachten Sie, dass $(-1)!=\infty$.