Finden von Eigenwerten einer 3x3-Matrix mit Determinante und Spur

Question

Angenommen, a $3×3$Matrix A hat nur zwei unterschiedliche Eigenwerte. Nehme an, dass$\operatorname{tr}(A)=−1$ und $\det(A)=45$. Finden Sie die Eigenwerte von$A$.

Ich habe ein ähnliches Problem mit einer 2x2-Matrix gelöst, indem ich die Eigenschaften von Spur und Determinante verwendet habe (Spur = a + d und det = ad-bc). Ich habe versucht, den gleichen Ansatz für die 3x3-Matrix ohne Erfolg zu verfolgen, da das Ausdrücken des charakteristischen Polynoms viel komplexer ist. Gibt es einen anderen Ansatz, den ich wählen könnte?

Answer 1

Angenommen, Ihre Eigenwerte sind $x$ und $y$. Ihre Matrix$A$ ähnelt einer diagonalen Matrix $B$Das hat seine Eigenwerte auf seiner Diagonale.
Nun haben ähnliche Matrizen dieselbe Determinante und dieselbe Spur, so dass wir zu den folgenden Gleichungen gelangen können:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$Der erste ist die Summe der Diagonale (wir wissen, dass es 2 eindeutige Eigenwerte gibt, einer davon wird also zweimal auf der Diagonale angezeigt).
Das zweite ist das Produkt der Diagonale (Determinante der Diagonalmatrix).
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$

wenn $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ und $2x+y=-1$. Und das ist unsere Antwort :)

Answer 2

Es gilt für eine Matrix $A$ Das $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ Da du zweimal einen Eigenwert hast (nehme ich an $\lambda_1$) das führt zu: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$

// Edit: korrigiertes Ergebnis: Sie können dies lösen und zu:

$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$