Fourier-Transformation von $L^1$ Funktion, deren Ableitung in ist $L^1$ und verschwindet im Unendlichen ist in $L^1$

Jan 06 2021

$f \in L^1(\mathbb{R})$ ist eine differenzierbare Funktion, so dass $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$beweisen, dass die Fourier-Transformation von $f$ notiert $\hat{f}$ ist in $L^1 (\mathbb{R})$

Ich weiß ob $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, dann $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$aber ich habe keine Ahnung, wie ich die Bedingung verwenden soll, dass das Derivat im Unendlichen verschwindet. Irgendwelche Ideen werden hilfreich sein.

Antworten

1 copper.hat Jan 07 2021 at 11:07

Zwei Hinweise:

Nutzen Sie die Tatsache, dass $f'$ ist verpflichtet, das zu zeigen $f' \in L^2$ und die Verwendung von Plancherel.

Beachten Sie, dass $f'$ ist begrenzt und seit$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ wir sehen das $f' \in L^2$. Dann zeigt Plancherel das$\hat{f'} \in L^2$. Beachten Sie, dass$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Verwenden Sie Cauchy Schwartz und beachten Sie, dass für $\omega \neq 0$ wir haben $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

Zum $\omega \neq 0$ wir haben $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ und Cauchy Schwartz gibt $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.