Frage zum Beweis des erweiterten Satzes von Fermat auf Summen von zwei Quadraten

Question

Lassen $m$sei eine ungerade positive ganze Zahl. Zeige, dass$m$ kann als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden $m = a^2 + b^2$ mit $\gcd(a,b) = 1$ genau dann, wenn jeder Primfaktor von $m$ ist kongruent zu $1 (\text{mod}~4)$.

$\mathbf{My~Attempts:}$
Beachten Sie, dass wenn $m$ist eine ungerade Primzahl, dann gilt die Aussage von Fermats Theorem für Summen von zwei Quadraten.
Also lass$m$ sei die zusammengesetzte ungerade positive ganze Zahl.

Beweisen Sie zunächst, ob jeder Primfaktor von $m$ ist kongruent zu $1~(\text{mod}\ 4)$ dann $m = a^2 + b^2$ mit $\gcd(a,b) = 1$.
Angenommen, jeder Primfaktor von$m$ ist kongruent zu $1~(\text{mod}\ 4)$
Lassen $m = p_1 p_2 \cdots p_n$ sei die Hauptfaktorisierung von $m$ und jede $p_i$sind seltsam.
Dann, unter der Annahme, jeder$p_i \equiv 1 ~(\text{mod}~4)$ welche nach Fermats Theorem auf Summen von zwei Quadraten, $p_i = a_i^2 + b_i^2$ für einige $a_i, b_i \in \mathbb{N}$.
Damit,$m = (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2) = [(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (b_1 a_2 - a_1 b_2)^2](a_3^2 + b_3^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2)$.
Lassen$x_1 = (a_1 a_2 + b_1 b_2)$ und $y_1 = (b_1 a_2 - a_1 b_2)$.
Dann haben wir$m = (x_1^2 + y_1^2)(a_3^2 + b_3^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2)$.
Wiederholen Sie nun diesen Vorgang$n-2$ mal und lass jeden $x_i = (x_{i-1} a_{i+1} + y_{i-1} b_{i+1})$ und lassen Sie jeden $y_i = (y_{i-1} a_{i+1} - x_{i-1} b_{i+1})$.
Dann werden wir haben$m = (x_{n-1}^2 + y_{n-1}^2)$ wo $x_{n-1} = (x_{n-2} a_n + y_{n-2} b_n)$ und $y_{n-1} = (y_{n-2} a_n - x_{n-2} b_n)$.
Wo$x_{n-1}$ und $y_{n-1}$sind beide positive ganze Zahlen.
Lassen$a = x_{n-1}$ und $b = y_{n-1}$.
Also haben wir das bewiesen$m$ kann als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden $m = a^2 + b^2$.

$\mathbf{Problems:}$
Jetzt blieb ich dabei, das zu beweisen $\gcd(a,b) = 1$in diesem Fall !! Ich weiß auch nicht, wie ich die Umkehrung der Aussage beweisen soll, wenn$m = a^2 + b^2$ mit $\gcd(a,b) = 1$ dann jeder Primfaktor von $m$ ist kongruent zu $1~(\text{mod}~4)$ !

Answer 1

Hier ist ein etwas anderer Ansatz. Erstens bedeutet der "wenn" -Teil, ähnlich wie Sie es getan haben, jeden Primfaktor von$m$ ist kongruent zu $1 \pmod{4}$. Wie in der Antwort auf die Summe zweier Quadrate und Primfaktoren gezeigt , gibt der Satz von Fermat über die Summe der Quadrate jeden Primfaktor an$p_i$ von $m$kann als Summe der Quadrate geschrieben werden. Auch für jeden$c, d, e, f \in \mathbb{R}$,

$$(c^2 + d^2)(e^2 + f^2) = (ce \pm df)^2 + (cf \mp de)^2 \tag{1}\label{eq1A}$$

zeigt wann immer $2$ Zahlen können als Summe von Quadraten geschrieben werden, ihr Produkt kann auch in sein $2$verschiedene Wege. Verwenden Sie \ eqref {eq1A} wiederholt mit dem vorherigen Ergebnis (beginnend mit$1$) und für jeden $p_i \mid m$ bedeutet das Endprodukt, dh $m$kann als Summe von Quadraten geschrieben werden.

In Bezug auf den Nachweis können Sie eine wählen $a$ und $b$ wo $\gcd(a, b)$Die Antwort auf jedes Produkt von Primzahlen in Form von 4n + 1 ist die Summe von 2 relativ primitiven Quadraten. Dies zeigt dies, wie unten umschrieben.

Wie in \ eqref {eq1A} gezeigt, ist das Produkt der $2$ Quadratsummen können ausgedrückt werden in $2$Wege. Haben$c^2 + d^2$mit $\gcd(c, d) = 1$, ein Produkt von sein $1$ oder mehr Primzahlen der Form $4n + 1$, und $e^2 + f^2$sei eine Primzahl dieser Form, die multipliziert werden soll. Überlegen Sie, ob die erste Form in \ eqref {eq1A}, dh$(ce + df)^2 + (cf - de)^2$ist nicht gültig, dh es gibt eine Primzahl $q$das teilt jeden Begriff. Das heisst

$$q \mid (ce + df)e + (cf - de)f = c(e^2 + f^2) \tag{2}\label{eq2A}$$

$$q \mid (ce + df)f - (cf - de)e = d(e^2 + f^2) \tag{3}\label{eq3A}$$

Schon seit $q$ teilt sich nicht $c$ und $d$, dann $q \mid e^2 + f^2 \implies q = e^2 + f^2$. Wenn beide Lösungstypen in \ eqref {eq1A} nicht gültig sind, dann$e^2 + f^2$ teilt $ce - df$ ebenso gut wie $ce + df$und teilt sich daher $2ce$ und $2df$. Schon seit$e^2 + f^2$ teilt sich nicht $2e$ oder $2f$muss es beide teilen $c$ und $d$entgegen der Hypothese bedeutet dies mindestens eine der $2$Formulare müssen gültig sein. Verwenden Sie daher die gültige Form und wiederholen Sie diesen Vorgang für jede Primzahl, die multipliziert wird, um schließlich zu erhalten$m$.

Für den Teil "nur wenn", ähnlich der Antwort auf Wenn$a \in \Bbb Z$ ist dann die Summe von zwei Quadraten $a$kann nicht in welcher der folgenden Formen geschrieben werden? Angenommen, es gibt eine Primzahl$p \equiv 3 \pmod{4}$ mit $p \mid m$. Wenn$p \mid a$, dann $p \mid b$und umgekehrt, aber seitdem $\gcd(a, b) = 1$, dann $p$ kann auch nicht teilen $a$ oder $b$. So,$a$ hat eine multiplikative Inverse, nenne es $a'$Modulo $p$. Lassen$r = \frac{p-1}{2}$ und beachten Sie $r$ist ungerade. Dies ergibt auch unter Verwendung des kleinen Satzes von Fermat (beachten Sie, dass das folgende Argument im Wesentlichen dem Zeigen entspricht$-1$ist kein quadratischer Rest modulo$p$ wenn $p \equiv 3 \pmod{4}$)

$$\begin{equation}\begin{aligned} a^2 + b^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ a^2(a')^2 + b^2(a')^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ 1 + (ba')^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ (ba')^2 & \equiv -1 \pmod{p} \\ \left((ba')^2\right)^{r} & \equiv (-1)^r \pmod{p} \\ (ba')^{p-1} & \equiv -1 \pmod{p} \\ 1 & \equiv -1 \pmod{p} \end{aligned}\end{equation}\tag{4}\label{eq4A}$$

Dies ist natürlich nicht möglich, was bedeutet, dass die ursprüngliche Annahme falsch sein muss. Dies bestätigt alle Primfaktoren von$m$ muss kongruent sein zu $1 \pmod{4}$.