Fraktale und ihre Dimensionen

Fraktale sind verrückte Formen, die Ordnung und Muster in chaotischen Designs zeigen. Es hat viele faszinierende Kurven. Diese interessanten Muster wurden aufgrund ihrer einzigartigen Eigenschaften individuell untersucht. Eines davon ist das Sierpinski-Dreieck .

Das Sierpinski-Dreieck ist im Grunde ein gleichseitiges Dreieck, das in vier gleichseitige Dreiecke unterteilt ist (wie im Bild unten gezeigt) und das mittlere Dreieck entfernt wird. Dann werden diese Unterdreiecke wieder in ähnlicher Weise in vier gleichseitige Dreiecke unterteilt und das mittlere Dreieck wird entfernt. Dieser Prozess wird unendlich wiederholt und dabei ist das erhaltene komplexe Dreieck das Sierpinski-Dreieck. Wenn nun in einem Pascalschen Dreieck alle ungeraden Zahlen schwarz und die geraden weiß gefärbt sind, dann erhalten Sie schließlich das Sierpinski-Dreieck. Unerwartet, oder?

Fraktale waren nicht nur zufällige Formen oder Muster, die mathematisch erstellt wurden. Es war auch im Bevölkerungsdiagramm zu sehen. Es wurde beobachtet, dass die Nahrung linear zunahm, die Bevölkerung jedoch exponentiell zunahm. Später stellte sich heraus, dass die Bevölkerung nicht auf diese Weise weiter zunahm. Sie stieg einige Jahre lang an, dann ging sie aufgrund von Nahrungs- und Ressourcenmangel wieder zurück. Diese Populationsänderungen folgten einer einfachen Funktion,

[Die obige Gleichung sei mit (1) bezeichnet.]

Wobei X die Bevölkerung des aktuellen Jahres und X_next die Bevölkerung des Jahres nach X ist und r eine Konstante ist, die entsprechend der zu modellierenden Bevölkerung angepasst werden kann. Um das Langzeitverhalten von Systemen zu beobachten, wurde diese Formel immer und immer wieder wiederholt und um zu sehen, was passiert. Dieser Vorgang wird als Iteration bezeichnet.

Gleichung (1) wird gezeichnet, indem 'r' als 3,5 genommen wird und mit einer hypothetischen Situation angenommen wird, dass der Wert von X nur zwischen 0 und 1 liegt, und unendlich iteriert. Das Folgende war die erhaltene Grafik:

Dieses Diagramm wurde als Fraktal betrachtet, da es die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit darin zeigte. Wenn Sie in das „Ordnungsfenster“ des Diagramms hineinzoomen, das die breite Lücke im Diagramm darstellt, werden Sie feststellen, dass dasselbe ursprüngliche Diagramm wieder in diesem Fenster vorhanden ist. Je weiter Sie hineinzoomen, desto mehr finden Sie im Fenster des Chaos die gleiche Grafik. Dieses Fraktal wurde als „Der Feigenbaum“ bezeichnet.

Wie ich in einem meiner vorherigen Artikel erwähnt hatte, sind Fraktale Formen, die rau und unregelmäßig sind. Diese Rauheit und Unregelmäßigkeit kann leicht berechnet werden. Wie? Durch die Berechnung ihrer fraktalen Dimension. Felix Hausdorff und Abram Besicovitch fanden heraus, dass Fraktale nicht ganzzahlige Dimensionen haben. Sie beschrieben, dass die Fraktale Kurven sind, deren Dimension „zwischen“ den ganzzahligen Dimensionen liegt. Diese fraktalen Dimensionen werden daher auch als Hausdorff-Besicovitch-Dimension bezeichnet. Aber wie berechnet man diese Dimensionen? Es gibt zwei Hauptmethoden, die verwendet werden können, um die Dimension einfach zu berechnen.

Erstens, indem die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit genutzt wird, die Fraktale besitzen. Nehmen wir Formen mit den bekannten Dimensionen 1, 2 und 3. Für Dimension eins nehmen wir eine Linie der Länge 1 Einheit und skalieren sie auf 1/4 ihrer ursprünglichen Länge. Die Länge beträgt jetzt also 1/4 Einheiten. Um die ursprüngliche Länge zu erhalten, müssen wir dieses 1/4 der Linie viermal multiplizieren. Der Faktor, um den die Linie verkleinert wird, sei 's', die Zahl, mit der 's' multipliziert wird, um die ursprüngliche Länge zu erhalten, sei 'n' und die Dimension sei 'D'. Sie würden also in diesem Fall beobachten,

Diese Formel gilt für jede Dimension. Angenommen, wir versuchen dies zu beweisen, indem wir die Fläche einer zweidimensionalen Form verwenden. Lassen Sie uns also jede Seite eines Quadrats mit Einheitslänge auf die Hälfte seiner ursprünglichen Länge verkleinern, sodass seine Fläche verkleinert wird. 1/4. Um also wieder das ursprüngliche Quadrat zu erhalten, müssen wir das verkleinerte Quadrat 4-mal multiplizieren.

Somit ist D = 2, was die erforderliche Abmessung war.
In ähnlicher Weise kann es für eine dreidimensionale Form bewiesen werden.

Somit lautet die gefundene allgemeine Gleichung

Gleichung (2) ist eine der Formeln, die verwendet werden können, um die fraktale Dimension einer Form zu finden. Angenommen, wir nehmen eine Koch-Kurve,

Wenn wir mit den oben angegebenen Werten von n und s versuchen, seine fraktale Dimension mit Gleichung (2) zu berechnen, erhalten wir ungefähr 1,26 . Dies ist die Dimension der fraktalen Koch-Kurve.

Zweitens, indem eine Gitterzählmethode verwendet wird.
Bei dieser Methode müssen Sie nur Gitter auf das Fraktalbild zeichnen, wobei jedes Kästchen darin eine Skalierung von 1 Einheit hat. Zeichnen Sie dann wieder ein Gitter darauf, aber jedes Kästchen hat diesmal einen Maßstab von 1/2. Das wiederum, wobei jede Box einen Maßstab von 1/4 hat. Zähle die Anzahl der Kästchen, durch die das Fraktal geht. Sie können die Dimension mit der folgenden Formel berechnen,

wobei n( ) die Anzahl der Quadrate ist, die das Bild enthalten, und 1/s sein Gittermaßstab ist. Wir können jetzt die Dimension der Koch-Kurve berechnen. Unten sind drei Maßstabsraster im Verhältnis 1 : 1/2 : 1/4 angegeben. Durch Zählen wurde festgestellt, dass die Anzahl der Kästchen des ersten, zweiten und dritten Gitters 18, 41 bzw. 105 betrug.

Maßberechnung mit dem Raster der Maßstäbe 1 und 1/2,

Maßberechnung anhand des Maßstabsrasters 1 und 1/4,

Berechnung der Dimension mit dem Raster der Skala 1/2 und 1/4,

Durch Ermitteln des Mittelwerts dieser drei Werte wurde ein Wert von etwa 1,27 ermittelt. Dies liegt nahe bei 1,26, was die ursprüngliche Dimension der Koch-Kurve ist.

Dies sind also zwei einfache Möglichkeiten, wie Sie die fraktale Dimension eines Fraktalbildes berechnen können.