Was ist die Matrix des Logarithmus des abgeleiteten Operators ( $\ln D$)? Welche Rolle spielt dieser Operator in verschiedenen mathematischen Bereichen?

Question

Babusci und Dattoli, Auf dem Logarithmus des Derivatoperators , arXiv: 1105.5978 , liefern einige großartige Ergebnisse:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Ich frage mich, was ist ihre Matrix oder gibt es eine Methode, um sie auf eine Funktion anzuwenden?

Welche intuitive Rolle spielt er in verschiedenen Bereichen der Mathematik?

Answer 1

Nach Fourier-Transformation $x\mapsto k$wird dies zu einem Diagonaloperator mit Matrixelementen $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. So finden Sie die Matrixelemente in der$x$-Darstellung müssten wir die Fourier-Transformation des Logarithmus invertieren $\ln k$. Aus dieser MSE-Antwort für die Fourier-Transformation von$\ln |k|$ (mit absoluten Vorzeichen) Ich würde daraus schließen $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

Diese Notation bedeutet das $\ln D$ auf eine Funktion einwirken $f(x)$ erzeugt eine neue Funktion $g(x)$ gegeben durch $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

Answer 2

Die Interpretation von a $\ln(D)$ hängt von der Interpolation ab, die man vom üblichen Ableitungsoperator und seinen positiven ganzzahligen Potenzen zu einem gebrochenen Integro-Ableitungsoperator (FID) wählt, dh einer Interpretation von $D$potenziert durch eine reelle (oder komplexe Zahl durch analytische Fortsetzung), die wiederum von den Funktionen abhängt, auf die der FID einwirken soll. Die unten beschriebene Erweiterung erzeugt B & Ds drei Identitäten und stimmt mit den Eigenschaften überein, die Pincherle einer legitimen Familie von FIDs auferlegt hat (siehe dieses MO-Q für eine 1/2 Ableitung und dieses MO-Q für die Bruchrechnung ). Sie kann durch die Aktion auf einer 'Basismenge' ganzer Funktionen in der komplexen Variablen definiert werden$\omega$ wie

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

wo $H(x)$ ist die Heaviside-Schrittfunktion und $\alpha$ und $\omega$ können beliebige komplexe Zahlen mit der üblichen Identifikation in der Theorie der verallgemeinerten Funktionen und Verteilungen von sein

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

mit $n=0,1,2,3,...$.

Beachten Sie, dass dies wenig mit einer Fourier-Transformation über der realen Linie oder einem damit verbundenen Pseudo-Diff-Op / Symbol zu tun hat. Bestimmtes,$D^{\alpha}$ hier ist NICHT mit der Multiplikation mit verbunden $(i 2 \pi f)^{\alpha}$im Frequenzraum. An anderer Stelle zeige ich verschiedene äquivalente Faltungswiederholungen dieses FID als 1) eine FT über einen Kreis durch Transformation eines regulierten Cauchy-Komplexkonturintegrals, 2) die analytische Fortsetzung der integralen Wiederholung der Euler-Beta-Funktion entweder durch Aufblasen in die komplexe Ebene des Integrals entlang des realen Liniensegments oder die Regularisierung über den Hadamard-Finite-Teil oder über die Pochhammer-Kontur, 3) die Mellin-Interpolation des Standardableitungsoperators über die Wirkung der Erzeugungsfunktion$e^{tD_x}$, eine Operatoranwendung der Ramanujan-Hauptformel oder 4) eine Interpolation der Sinc-Funktion / Kardinalreihe der verallgemeinerten Binomialkoeffizienten.

Mal sehen, wie realisierbar die obige Definition des FID ist; seine Verbindung zu einem Infinitesimalgenerator (Infinigen) des FID und der drei B & D-Identitäten; eine Verbindung zum Formalismus der Appell-Sheffer-Polynomsequenzen und damit zur symmetrischen Polynom- / Funktionstheorie; und Matrixwiederholungen des Infinigens und des FID.

Wenn wir davon ausgehen, dass ein infinitesimaler Generator $IG$ existiert so, dass

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

dann formell

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

und das Infinigen ist

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

wo $\psi(x)$ ist die Digammafunktion, die über die komplexe Ebene als meromorphe Funktion definiert werden kann und eng mit den Werten der Riemannschen Zetafunktion bei verwandt ist $s = 2,3,4,...$.

Einige Wiederholungen (die die gleichen Identitäten wie in B & D haben) sind

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

wo $\lambda$ ist verwandt mit der Euler-Mascheroni-Konstante via $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.

Andere Wiederholungen und andere Wege, um zu den obigen Wiederholungen zu gelangen, sind in den folgenden Wiederholungen angegeben.

Schauen wir uns einen Weg über den Formalismus der Appell-Sheffer-Polynomsequenzen an, der alle Konvergenzprobleme bei der Potenzierung der expliziten Diff-Op-Formel für das Infinigen regelt und Verbindungen zur Theorie der symmetrischen Polynome / Funktionen ermöglicht.

Die relevante Appell-Folge von Polynomen $p_n(z) = (p.(z))^n$ hat die exponentielle Erzeugungsfunktion, die in der komplexen Variablen vollständig ist $t$dh mit seiner Taylor-Serie global konvergierend,

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

mit der reziproken Polynomsequenz, die auf vier konsistente Arten definiert ist $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, ein egf,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $in Bezug auf die unteren Dreieckskoeffizientenmatrizen der beiden Sequenzen in der Monomialleistungsbasis $z^n$ mit Einheitsdiagonale,

3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, eine Umbral-Faltungsinversion,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, ein Betriebsgenerator.

Daraus folgt die Erhöhung der Appell-Polynome $p_n(z)$ definiert von

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

ist gegeben durch

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

eine Operator-Konjugation oder "Eichentransformation" des Raising-Operators $z$ für die Machtmonome.

Zusätzlich mit dem Bedienerkommutator $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

Geben Sie nun Pincherle und die gleichnamige Operatorableitung erneut ein, die Rota für die endliche Operatorrechnung angepriesen hat. Das Graves-Pincherle-Derivat bezieht seine Kraft aus dem Graves-Lie-Heisenberg-Weyl-Kommutator$[D_z,z] = 1$ woraus durch normale Neuordnung für jede Funktion impliziert wird, die als Potenzreihe in ausgedrückt wird $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

Dies ist ein Avatar des Pincherle-Derivats (PD), das sich aus der Aktion ergibt $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

Die PD gilt jedoch für allgemeinere Operationen zum Absenken und Anheben (Leiter), die zufriedenstellend sind $[L,R]= 1$.

Dann

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

Mit der Substitution $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

Die Erhöhung op ist so definiert, dass

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

eine ganze Funktion für $t$Komplex; deshalb,

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

so

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

und wir können das tatsächlich identifizieren

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

und

$$IG = \ln(D_x).$$

Wenden Sie nun die PD an $\ln(D)$, als Überprüfung des Formalismus und als Weg zu einem Matrix-Repräsentanten, der formal gibt

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

Dies erhält eine explizite Bedeutung, indem der Kommutator für eine allgemeine Funktion ausgewertet wird $g(x)$ analytisch am Ursprung (der sich auf unsere 'Basis'-Menge verallgemeinert) unter Verwendung des Integral-Repräsentanten für $R_x = -\ln(D_x)$geben

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

Also haben wir

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

und

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

impliziert

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

Darüber hinaus mit

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

dann

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

wo

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

Die Finite-Differenzen-Op-Reihe ist in die Ableitung eingebettet $D_{\alpha =0}$des Newton-Interpolators

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

Zum $\alpha = -m$ mit $m = 1,2,...$ und $\omega = 0$gibt dieser Newton-Interpolator

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

was in einem verteilenden Sinne mit den Polynomauflösungen von Laguerre von übereinstimmt $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$in den Formeln dieses MO-Q seit, mit$c_n = f_n$ in der Notation dort,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

mit

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

also für die $m$-te Ableitung der Heaviside-Funktion,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

und daher die Koeffizienten der Laguerre-Reihenauflösung der $m$-te Ableitung der Heaviside-Funktion sind

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

in Übereinstimmung mit dem Newton-Interpolator.

Bewirbt sich $D_x^{-1}$ iterativ zu beiden Seiten dieser Identität werden konvergente Interpolationen für erstellt $\omega = 1,2,3,...$und auf der Leistungsbasis innerhalb der Binomialerweiterung von $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ sollte auch konvergente Ausdrücke geben.

Ähnliches gilt für $\omega=0$haben wir die Laplace-Transformation (oder genauer gesagt die modifizierte Mellin-Transformation, die für Ramanujans Hauptformel von zentraler Bedeutung ist, über die die FIDs als Mellin-Interpolationen der Standardderivate gegossen werden können),

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

zum $Re(\alpha) > -1$geben

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

Diese Laplace-Transformation und daher der Newton-Interpolator können auf verschiedene Standardmethoden (z. B. Aufblasen von der realen Linie zur komplexen Ebene über eine Hankel-Kontur , Hadamard-Finite-Teil ) zur vollständigen komplexen Ebene für analytisch fortgesetzt werden$\alpha$. Für die negativen ganzzahligen Exponenten zieht sich die Hankel-Kontur zur Differenzierung zum üblichen Cauchy-Kontur-Repräsentanten zusammen. Der Hadamard-Finite-Teile-Ansatz ermöglicht es, den Newton-Interpolator Streifen für Streifen entsprechend zu modifizieren, um die beabsichtigten Ergebnisse zu erzielen.

Zurück zur endlichen Differenz rep für $\ln(D_x)$Die Wirkung des Infinigens auf 1 ergibt dann z $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

wo $L_n(x)$ sind die Laguerre-Polynome in Übereinstimmung mit der ersten Gleichung von B & D in der Frage.

Diagramme der Ergebnisse der Auswertung der Operatorreihe abgeschnitten bei $n=80$oder so handeln $x^2$ und $x^3$ stimmen auch mit den Analyseergebnissen überein.

Die Matrix rep $M$ der Aktion dieser Integration op $D_x^{-1}$ auf $x^n$ ist in der Potenzbasis einfach genug - eine Matrix mit allen Nullen außer der ersten Subdiagonale oder Superdiagonale, abhängig von der Multiplikation der linken oder rechten Matrix, mit Elementen $(1,1/2,1/3,...)$.

Die Matrix rep für $R_x$ ist dann

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

Exponentiating,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

Die zugehörige Matrix rep ist

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(Ich habe diese Matrixberechnungen nicht wie gewohnt numerisch überprüft, da sich meine MathCad-Disc in einem anderen Zustand befindet.)

Auf nicht ganzzahlige Kräfte von $x$müssen Sie sie als Überlagerungen der ganzzahligen Potenzbasis wie bei der Binomialerweiterung darstellen

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

Alternativ kehren Sie zum zurück $z$ rep und schreibe die Matrix rep des Raising op auf $R_z$. Dies ist eine einfache Transformation der unendlichen unteren dreieckigen Pascal-Matrix, ergänzt durch eine erste Superdiagonale von allen. OEIS A039683 enthält ein Beispiel für das Matrixäquivalent eines Raising-Op auf der Basis der Monomialleistung, das in einem anderen Ansatz (Riordan?) Für Polynomsequenzen auch als Produktionsmatrix bezeichnet wird. In diesem Fall ist es besser, auf die geteilte Leistungsbasis umzuschalten$z^n/n!$. Dann wird die erweiterte Pascal-Matrix zur einfachen Summationsmatrix aller. Multiplizieren Sie entlang der n-ten Diagonale mit$c_n$ wo $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ um die Matrix rep für das Raising op zu generieren, aber da z. $x^2=e^{2z}$Dies wird schnell zu einem chaotischen Algorithmus, der im Vergleich zum Vertreter mit endlicher Differenz angewendet werden kann.

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Weitere Referenzen (nicht erschöpfend):

1. Riemannsche Zeta und Bruchrechnung, ein MO-Q
2. Digamma / Psi-Funktion, Wiki
3. OEIS A238363 im Protokoll des Derivatoperators
4. OEIS A036039 über die Zyklusindexpolynome und symmetrischen Funktionen
5. Zeta-Funktionen und die Zyklusindexpolynome, ein MO-Q
6. Auf dem Raising-Op für FIDs wird ein MSE-Q
7. OEIS A132440 auf einem Matrix-Infinigen
8. OEIS A263634 über Partitionspolynomwiederholungen für Appell Raising Ops
9. Siehe für eine weitere Interp eines Protokolls eines Derivats, ein PDF
10. Interpolation / analytische Fortsetzung der Fakultäten zum Gamma-Effekt, MSE-Q
11. Raising Ops für Appell-Sequenzen, ein Blog-Beitrag
12. Beispiel einer Mellin-Interpolation von $e^{tD}$, MO-Q
13. Mehr zur Interpolation / analytischen Fortsetzung von Differential Ops, ein Blog-Beitrag
14. Zwei analytische Fortsetzungen der Koeffizienten einer Erzeugungsfunktion, MO-Q
15. FIDs und konfluente hypergeometrische Funktionen, ein MO-Q
16. Hinweis zum Pincherle-Derivat, einem Blog-Beitrag
17. FIDs und Interpolation von Binomialkoeffizienten, ein Blog-Beitrag
18. FIDs, Interpolation und Wanderwellen, ein Blog-Beitrag