Reflexionsprinzip gegen Universen
In kategorietheoretischen Diskussionen besteht oft die Versuchung, die Kategorie aller abelschen Gruppen oder aller Kategorien usw. zu betrachten, was schnell zu den üblichen satztheoretischen Problemen führt. Diese werden häufig durch die Verwendung von Grothendieck-Universen vermieden. In der satztheoretischen Sprache legt man einen stark unzugänglichen Kardinal fest$\kappa$ -- Dies bedeutet, dass $\kappa$ ist ein unzähliger Kardinal, so dass für alle $\lambda<\kappa$, ebenfalls $2^\lambda<\kappa$und für jeden Satz von $<\kappa$ viele Sätze $S_i$ von Größe $<\kappa$Auch ihre Vereinigung ist von Größe $<\kappa$. Dies impliziert, dass die Bühne$V_\kappa\subset V$ von "Größengruppen $<\kappa$"ist selbst ein Modell von ZFC - wenn Sie eine der Operationen auf Sets anwenden, wie z. B. die Einnahme von Powersets oder Gewerkschaften, können Sie niemals gehen $V_\kappa$. Diese Mengen werden dann als "klein" bezeichnet, und dann ist die Kategorie der kleinen abelschen Gruppen definitiv genau definiert.
Historisch gesehen wurde dieser Ansatz zuerst von Grothendieck verwendet; Ein neuerer Grundlagentext ist Luries Arbeit an$\infty$-Kategorien. Ihre Verwendung hat jedoch immer zu einer gewissen Gegenreaktion geführt, und einige Leute sind nicht bereit, Axiome jenseits von ZFC in die etablierte Literatur einfließen zu lassen. Ich denke zum Beispiel, dass es irgendwann eine lange Diskussion gab, ob Fermats letzter Satz in ZFC bewiesen wurde, das jetzt von McLarty festgelegt wurde. In jüngerer Zeit habe ich ähnliche Argumente für Theoreme gesehen, deren Beweise sich auf Luries Arbeit beziehen. (Ich persönlich habe keine starken Gefühle dafür und verstehe die Argumente so oder so.)
Andererseits war es auch immer so, dass eine genauere Betrachtung ergab, dass die Verwendung von Universen tatsächlich unnötig war. Beispielsweise verwendet das Stapelprojekt keine Universen. Stattdessen (siehe Tag 000H ) wird die Hypothese, dass$\kappa$ ist stark unzugänglich, für so etwas wie eine starke Grenze Kardinal von unzähliger Kofinalität, dh: für alle $\lambda<\kappa$, hat man $2^\lambda<\kappa$und wann immer Sie eine zählbare Sammlung von Sätzen haben$S_i$ von Größe $<\kappa$, auch die Vereinigung der $S_i$ hat Größe $<\kappa$. ZFC beweist leicht die Existenz solcher$\kappa$und fast jedes Argument, das man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen vorstellen könnte, funktioniert tatsächlich auch in der Kategorie der abelschen Gruppen $\kappa$-kleine abelsche Gruppen für solche $\kappa$. Wenn man kompliziertere Argumente vorbringt, kann man dementsprechend die anfängliche Hypothese weiter stärken$\kappa$. Ich hatte Gelegenheit, dieses Spiel selbst zu spielen. Das Ergebnis finden Sie in Abschnitt 4 von www.math.uni-bonn.de/people/scholze/EtCohDiamonds.pdf . Aufgrund dieser Erfahrung bin ich mir ziemlich sicher, dass man Luries "Higher Topos Theory" oder eine andere ähnliche kategorietheoretische Arbeit auf ähnliche Weise umschreiben kann, um alle stark unzugänglichen Kardinäle zu entfernen und durch sorgfältig ausgewählte zu ersetzen$\kappa$ mit Eigenschaften wie den oben genannten.
Tatsächlich scheint es einen Satz von ZFC zu geben, das Reflexionsprinzip (das beispielsweise in Tag 000F des Stacks-Projekts kurz erörtert wird ), das zu garantieren scheint, dass dies immer möglich ist. Für jede gegebene endliche Menge von Formeln der Mengenlehre gibt es nämlich einige ausreichend große$\kappa$ so dass diese Formeln grob gesagt gelten $V_\kappa$ genau dann, wenn sie halten $V$. Dies scheint zu sagen, dass man für jede gegebene endliche Menge von Formeln einige finden kann$\kappa$ so dass $V_\kappa$verhält sich in Bezug auf diese Formeln wie ein Universum, aber bitte korrigieren Sie mich in meinem sehr naiven Verständnis des Reflexionsprinzips! (Eine verwandte Tatsache ist, dass ZFC die Konsistenz eines bestimmten endlichen Fragments der Axiome von ZFC beweist.)
Andererseits enthält jeder gegebene mathematische Text nur endlich viele Formeln (es sei denn, er gibt ein "Theoremschema" an, was meiner Meinung nach normalerweise nicht vorkommt). Die Frage ist also leicht provokativ formuliert:
Bedeutet das Reflexionsprinzip, dass es möglich sein muss, die Theorie der höheren Topos so umzuschreiben, dass die Verwendung von Universen vermieden wird?
Edit (28.01.2021): Vielen Dank für all die sehr hilfreichen Antworten! Ich glaube, ich habe jetzt ein viel klareres Bild von der Situation, bin mir aber immer noch nicht ganz sicher, wie die Antwort auf die Frage lautet.
Soweit ich weiß, ist (ungefähr) der beste Metasatz in dieser Richtung der folgende (auf HTT spezialisiert). Denken Sie daran, dass HTT zwei stark unzugängliche Kardinäle repariert$\kappa_0$ und $\kappa_1$und schafft so Platz für kleine (in $V_{\kappa_0}$), groß (in $V_{\kappa_1}$) und sehr groß (in $V$) Objekte. Man kann dann versuchen, HTT im folgenden Axiomensystem zu lesen (dies ist im Wesentlichen der Artikel von Feferman "Mengen-theoretische Grundlagen der Kategorietheorie" und wurde auch in der Antwort von Rodrigo Freire unten vorgeschlagen).
(i) Die üblichen ZFC-Axiome
(ii) Zwei weitere Symbole $\kappa_0$ und $\kappa_1$mit den Axiomen, dass sie Kardinäle sind, dass die Kofinalität von $\kappa_0$ ist unzählig, und dass die Kofinalität von $\kappa_1$ ist größer als $\kappa_0$.
(iii) Ein Axiomschema, das dies für jede Formel sagt $\phi$ der Mengenlehre, $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_0}}$ und $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_1}}$.
Dann kann das Reflexionsprinzip verwendet werden, um zu zeigen (siehe Rodrigo Freires Antwort unten für eine Skizze des Beweises):
Satz. Dieses Axiomensystem ist gegenüber ZFC konservativ. Mit anderen Worten, jeder Satz in diesem formalen System, auf den nicht Bezug genommen wird$\kappa_0$ und $\kappa_1$ ist auch ein Satz von ZFC.
Dies ist genau die Schlussfolgerung, die ich gerne hätte.
Beachten Sie, dass $V_{\kappa_0}$ und $V_{\kappa_1}$ sind Modelle von ZFC, aber (kritisch!) kann dies innerhalb des formalen Systems nicht bewiesen werden, da ZFC nicht endlich axiomatisierbar ist und nur jedes einzelne Axiom von ZFC durch (iii) gesetzt wird.
Eine schöne Sache an diesem Axiomensystem ist, dass es explizit die gelegentlichen Argumente der Form "Wir haben diesen Satz für kleine Kategorien bewiesen, aber dann können wir ihn auch auf große Kategorien anwenden" zulässt.
Eine genauere Frage ist dann:
Funktionieren die Argumente von HTT in diesem formalen System?
Mike Shulman in Abschnitt 11 von https://arxiv.org/abs/0810.1279gibt eine sehr klare Darstellung der möglichen Probleme hier. Nämlich wenn du ein Set hast$I\in V_{\kappa_0}$ und setzt $S_i\in V_{\kappa_0}$ zum $i\in I$Sie dürfen nicht zu dem Schluss kommen, dass die Vereinigung der $S_i$ ist in $V_{\kappa_0}$. Diese Schlussfolgerung ist nur dann garantiert, wenn die Funktion$i\mapsto S_i$ ist auch definiert in $V_{\kappa_0}$ (oder wenn $I$ist zählbar durch die zusätzliche Annahme einer unzähligen Kofinalität). In der Praxis bedeutet dies, dass, wenn man behaupten will, dass etwas "klein" ist (dh in$V_{\kappa_0}$), dieses Urteil bezieht sich nicht nur auf Objekte, sondern auch auf Morphismen usw. Es ist mir jetzt nicht klar, wie problematisch dies tatsächlich ist, ich müsste mehr darüber nachdenken; Ich könnte mir tatsächlich vorstellen, dass es ziemlich einfach ist, HTT zu lesen, um dieses formale System zu erfüllen. Shulman sagt, dass mit dieser Einschränkung der Satz des adjungierten Funktors bewiesen werden kann, und wie Lurie in seinen Antworten sagt, sind die Argumente in HTT von ähnlicher satztheoretischer Komplexität. Ich wäre jedoch immer noch an einem Urteil interessiert, ob die Antwort auf die Frage "Ja, wie geschrieben" oder eher "Wahrscheinlich ja, aber Sie müssen sich etwas Mühe geben" oder tatsächlich "Nicht wirklich" lautet. (Ich hoffe aufrichtig, dass sich die Experten ungefähr darauf einigen können, wo die Antwort auf dieses Spektrum fällt.)
Eine letzte Bemerkung: Man kann die Annahme der "Unzählbarkeit" oben etwas willkürlich finden; Warum nicht etwas größere Gewerkschaften zulassen? Eine Möglichkeit, dies zu beheben, besteht darin, ein Symbol hinzuzufügen$\kappa_{-1}$ mit den gleichen Eigenschaften, und fragen Sie stattdessen, dass die Kofinalität von $\kappa_0$ ist größer als $\kappa_{-1}$. Ebenso könnte man die Grenze ersetzen wollen$\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_0$ durch eine etwas stärkere Bindung wie $\mathrm{cf} \kappa_1>2^{\kappa_0}$sagen. Wiederum, wenn es die Dinge vereinfacht, könnte man einfach einen anderen drücken$\kappa_{1/2}$ dazwischen, so dass $\mathrm{cf} \kappa_{1/2}>\kappa_0$ und $\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_{1/2}$. Auf diese Weise muss man sich keine Sorgen machen, ob eines der "Standard" -Objekte, die in einigen Proofs enthalten sind, von zählbarer Größe bleibt oder ob man noch Colimits aufnehmen kann$V_{\kappa_1}$ wenn Indexsätze nicht genau die Größe haben, durch die sie begrenzt sind $\kappa_0$ wurden aber ein wenig manipuliert.
PS: Ich finde erst jetzt alle relevanten vorherigen MO-Fragen und Antworten. Einige sehr relevante sind Joel Hamkins 'Antworten hier und hier .
Antworten
Ich werde mich auf die Beine stellen und vorschlagen, dass das Buch HTT niemals etwas Stärkeres als Ersatz verwendet $\Sigma_{15}$-Formeln der Mengenlehre. (Hier$15$ ist eine zufällig ausgewählte große Zahl, und HTT ist ein zufällig ausgewähltes Mathematikbuch, in dem es nicht speziell um Mengenlehre geht.)
Wenn ich über Gabes Kommentar zu meiner ursprünglichen Antwort nachdenke, denke ich jetzt, dass das, was ich geschrieben habe, irreführend ist, weil es zwei getrennte (aber verwandte) Behauptungen miteinander verbindet:
Die Existenz stark unzugänglicher Kardinäle wird in der Kategorietheorie nicht wirklich benötigt.
Die volle Stärke von ZFC wird in der Kategorietheorie nicht wirklich benötigt.
Ich stimme diesen beiden Aussagen zu, denke aber, dass der beste Weg, jemanden von 1) zu überzeugen, darin besteht, 2) nicht mit einem Reflexionsprinzip zu kombinieren: Das heißt, man sollte nicht versuchen, die Verwendung eines stark unzugänglichen Kardinals zu ersetzen $\kappa$ von einem für die $V_{\kappa}$ modelliert einen großen Teil von ZFC.
Aus meiner Sicht besteht das "Problem", das Universen lösen, darin, die Kombination zweier Arten von Argumenten zu rechtfertigen:
A) Es ist manchmal nützlich, Sätze über kleine Kategorien zu beweisen $\mathcal{C}$ indem Sie sie in "große" Kategorien einbetten (z. B. mithilfe der Yoneda-Einbettung), die nette zusätzliche Funktionen aufweisen: zum Beispiel das Vorhandensein von Grenzwerten und Grenzwerten.
B) Große Kategorien sind auch Kategorien, daher sollte jeder Satz, der allgemein für Kategorien gilt, auch für große Kategorien gelten.
Wenn Sie sich nur um B) Sorgen machten, könnte ein Reflexionsprinzip relevant sein. Einen Kardinal wählen$\kappa$ so dass $V_{\kappa}$ Wenn ein großer Teil von ZFC zufriedenstellend ist, können Sie "kleine Kategorie" neu definieren, um "zugehörige Kategorie" zu bedeuten $V_{\kappa}$"und" große Kategorie "bedeuten" Kategorie, die nicht unbedingt dazu gehört $V_{\kappa}$", und Sie können sicher sein, dass alle gewünschten Grundsätze in beiden Fällen gültig sind.
Wenn Sie sich aber auch Sorgen um A) machen, ist dies nicht unbedingt hilfreich. Angenommen, Sie beginnen mit einer Kategorie$\mathcal{C}$ zugehörig $V_{\kappa}$und Sie möchten eine Version der Yoneda-Einbettung. Eine natürliche Vermutung wäre, sich in die Kategorie der Funktoren von einzubetten$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ zur Kategorie der Größensätze $<\tau$ (oder ein gleichwertiges Modell davon), für einen Kardinal $\tau$. Eine erste Vermutung ist, dass Sie nehmen sollten$\tau = \kappa$, aber ich denke das macht nur Sinn $\kappa$ist stark unzugänglich (andernfalls sind einige Hom-Sets zu groß). In jedem Fall garantieren Sie, dass diese Konstruktion gute Eigenschaften hat, Sie werden unterschiedliche Eigenschaften des Kardinals verlangen wollen$\tau$. Wenn Sie beispielsweise möchten, dass diese Kategorie von Presheaves viele Colimits aufweist, werden Sie dies wünschen$\tau$große Kofinalität haben. Und wenn Sie darüber nachdenken, welche zusätzlichen Annahmen Sie möglicherweise treffen müssen, sind Sie wieder da, wo Sie begonnen haben: Überlegen Sie, welche Art von Kardinalitätsschätzungen garantieren, dass "Größenunterschiede auftreten"$< \tau$"sind eine gute Annäherung an die Kategorie aller Vorspannungen von Mengen. Das Reflexionsprinzip hilft Ihnen also nicht wirklich, diese Probleme zu vermeiden.
(Bearbeiten: Ich habe nach dem Schreiben festgestellt, dass der folgende Text hauptsächlich Peters ursprünglichen Beitrag wiederholt. Aber ich werde ihn hier lassen, falls jemand ihn nützlich findet.)
Wenn Sie eine strenge Formalisierung in so etwas wie ZFC wünschen, ist es wahrscheinlich das Beste, große Kategorien ganz abzuschaffen. Dann ist B) also kein Thema. Um mit A) umzugehen, möchte ich bemerken, dass viele der "großen" Kategorien, über die man sprechen möchte, auf eine bestimmte Weise entstehen: Man beginnt mit einer kleinen Kategorie$\mathcal{C}$ Das hat bereits bestimmte Arten von Colimits und vergrößert sich formal $\mathcal{C}$ eine größere Kategorie zu machen $\mathcal{C}^{+}$die willkürliche Colimits hat (ohne die zu ändern, mit denen Sie begonnen haben). Kategorien, die auf diese Weise entstehen, werden als lokal präsentierbar bezeichnet , und es gibt eine einfache Formel für$\mathcal{C}^{+}$: Es ist die Kategorie der Funktoren $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ die die Grenzen bewahren, mit denen Sie begonnen haben (dh die Colimits, mit denen Sie begonnen haben $\mathcal{C}$).
Wenn Sie dies in der Welt der kleinen Kategorien nachahmen möchten, können Sie stattdessen einen Kardinal auswählen $\kappa$ und stattdessen über Funktoren nachdenken $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \{ \text{Sets of size < $\ kappa$} \}$, was einer kleinen Kategorie entspricht $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$. Die Frage, die Sie treffen, ist, ob dies ein ausreichend guter Ersatz für die große Kategorie ist$\mathcal{C}^{+}$über. Hat es zum Beispiel viele Grenzen und Grenzen? Es ist unvernünftig, zu verlangen, dass alle Colimits vorliegen, aber Sie können stattdessen Folgendes fragen:
Q) Hat die Kategorie $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ haben Colimits durch Diagramme der Größe indiziert $< \kappa$?
Die Antwort auf Q) lautet "Nein im Allgemeinen, aber ja, wenn $\kappa$ ist gut gewählt ". Zum Beispiel, wenn Sie einen unendlichen Kardinal haben $\lambda$ Begrenzung der Größe von $\mathcal{C}$ und die Anzahl der Colimit-Diagramme, mit denen Sie beginnen, dann glaube ich, dass Sie (i) garantieren können, indem Sie nehmen $\kappa = (2^{\lambda})^{+}$ (und die Kategorie $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$kann durch die erwartete universelle Eigenschaft charakterisiert werden). Um dies zu beweisen, benötigen Sie außerdem keinen Ersatz.
Jetzt können Sie auch Folgendes fragen:
Q ') Hat die Kategorie $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ Grenzen haben, die durch Größendiagramme indiziert sind $< \kappa$?
Hier lautet die Antwort normalerweise "Nein", es sei denn $\kappa$ist stark unzugänglich. Wenn Sie jedoch nur an Grenzwerten eines bestimmten Typs interessiert sind (wenn Sie beispielsweise Grothendieck topoi studieren, sind Sie möglicherweise besonders an endlichen Grenzwerten interessiert), lautet die Antwort erneut "Ja für"$\kappa$ gut gewählt ". Und das können Sie mit sehr wenig ZFC beweisen.
Nun ist meine Behauptung, dass die obige Diskussion aufgrund meiner Erfahrung repräsentativ für die Art von Fragen ist, auf die Sie stoßen werden, wenn Sie versuchen, die Unterscheidung zwischen "kleinen" und "großen" Kategorien zu steuern (sicherlich ist sie repräsentativ für die Art und Weise, wie diese Dinge funktionieren kommen in meinem Buch, über das die ursprüngliche Frage gestellt wurde). In der Praxis müssen Sie nie über die Gesamtheit einer großen Kategorie wie sprechen$\mathcal{C}^{+}$;; es ist genug, um ein ausreichend großes Stück davon zu bauen (wie$\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$) mit den Funktionen, die Sie sehen möchten, die Sie durch Auswahl arrangieren können $\kappa$ vorsichtig.
Ich finde es konzeptionell klarer, die Frage zu ignorieren, wie Dinge in ZFC formalisiert werden, und Dinge in Bezug auf die "große" Kategorie zu formulieren $\mathcal{C}^{+}$unter Bezugnahme auf seine "kleinen" Annäherungen $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$nur als Hilfsmittel in einem Beweis (der unweigerlich noch irgendwo auftauchen wird!). Die Anrufung von "Universen" ist nur eine Möglichkeit, so zu schreiben und gleichzeitig dem axiomatischen Rahmen von ZFC Lippenbekenntnisse zu zollen, und ist definitiv unwesentlich.
Ich möchte etwas erwähnen, auf das ich noch nicht hingewiesen habe. Die ursprüngliche Frage begann mit
In der satztheoretischen Sprache legt man einen stark unzugänglichen Kardinal fest $\kappa$... Dies impliziert, dass die Bühne $𝑉_\kappa\subset 𝑉$ von "Größengruppen $<\kappa$"ist selbst ein Modell von ZFC.
Allerdings ist die Aussage, dass $V_\kappa$ ist ein Modell von ZFC ist deutlich schwächer als das zu sagen $\kappa$ist nicht zugänglich. In der Tat, wenn$\kappa$ ist dann unzugänglich $\{ \lambda\mid V_\lambda$ ist ein Modell von ZFC $\}$ ist stationär in $\kappa$. Daher ist der kleinste unzugängliche (falls vorhanden) viel größer als der kleinste$\kappa$ so dass $V_\kappa$ Modelle ZFC.
Soweit das Reflexionsprinzip nützlich ist (was, wie einige andere Antworten gezeigt haben, zumindest in Frage gestellt werden kann), ist es nur direkt hilfreich für Argumente, bei denen die relevante Eigenschaft eines Grothendieck-Universums darin besteht, dass es ein Modell von ZFC ist. Zumindest wenn es naiv formuliert ist, gibt es jedoch viele Stellen, an denen die Kategorietheorie mehr als dies verwendet. Insbesondere verwenden wir die Tatsache, dass ein Grothendieck-Universum einen Ersatz zweiter Ordnung erfüllt , was bedeutet, dass jede Funktion$f:A\to V_\kappa$, wo $A \in V_\kappa$hat ein Bild. Sagt, dass$V_\kappa$Modelle ZFC impliziert nur, dass es den Austausch erster Ordnung erfüllt , was nur den Schluss zulässt, dass ein solches$f$ hat ein Bild wenn $f$ ist definierbar von $V_\kappa$ durch eine logische Formel.
Ich glaube, dass das Ersetzen zweiter Ordnung in der universumsbasierten Kategorietheorie, wie sie normalerweise formuliert wird, allgegenwärtig ist. Zum Beispiel, wenn${\rm Set}_\kappa$ bezeichnet die Kategorie der Sätze in $V_\kappa$, um das zu beweisen ${\rm Set}_\kappa$ ist "vollständig und vollständig" in dem naiven Sinne, dass es eine Grenze und ein Colimit für jeden Funktor zulässt, dessen Domäne klein ist. Wir benötigen einen Ersatz zweiter Ordnung, um die Bilder eines solchen Funktors in einem einzigen Satz zu sammeln.
Nun gibt es Möglichkeiten, die Kategorietheorie neu zu formulieren, um dies zu vermeiden. McLartys Artikel macht es auf satztheoretische Weise. Ein kategorisch konsistenter Ansatz besteht darin, naive "große Kategorien" zu ersetzen (dh Kategorien, zu deren Gruppen von Objekten und Morphismen möglicherweise nicht gehören$V_\kappa$) mit großen ${\rm Set}_\kappa$- indizierte Kategorien . Dies ist jedoch eine wesentlich umfangreichere Art der Neuformulierung, die von Hand durchgeführt werden muss.
Wenn ich richtig verstehe, sind Sie nach einer Erklärung des Formulars:
"Wenn etwas in HTT unter Verwendung von Universen bewiesen wurde, kann es ohne sie bewiesen werden, indem man sich auf einige beschränkt $V_\kappa$ zum $\kappa$ groß genug"
Die rigorose Antwort darauf lautet, wenn wir keine weiteren Informationen über HTT haben, dass es keine solche Aussage geben kann, wenn ZFC konsistent ist.
In der Tat ist es möglich, dass die Existenz von Universen inkonsistent ist (tatsächlich ist es nicht möglich zu beweisen, dass sie konsistent ist), und in dieser Situation kann alles unter Verwendung von Universen bewiesen werden, und eine solche Aussage würde bedeuten, dass alles bewiesen werden kann dh ZFC ist inkonsistent.
Ich bin ein bisschen schlampig darüber, was in was usw. beweisbar ist, aber die Hauptidee ist da
Natürlich wissen wir etwas über HTT, und wenn wir es sorgfältig lesen, können wir analysieren, wo es Universen verwendet, und sehen, dass sie tatsächlich durch transitive Modelle des ZC + -Ersatzes bis zu ersetzt werden können $\Sigma_{15}$-Formeln, wie Jacob betont. In diesem Fall gibt es nachweislich solche gut erzogenen Modelle (der Form)$V_\kappa$, zum $\kappa$gut gewählt), das ist kein Problem; und HTT können ohne Universen umgeschrieben werden - dies kann jedoch nicht ohne Kenntnis der Inhalte von HTT bewiesen werden.
Die "Moral" davon ist, dass Universen in den meisten theoretischen Fragen der Mainstream-Kategorie ein zeitsparendes Mittel sind und kein tatsächlicher Teil der Mathematik.
Jeder Satz $T$ von $\mathsf{ZFC}$ folgt aus einer endlichen Teilmenge der Axiome von $\mathsf{ZFC}$ oder, um die Dinge einfach zu halten, von $\mathsf{ZFC}$ wo das Axiomschema des Ersatzes auf beschränkt ist $\Sigma_n$ Prädikate¹, nenne das $\mathsf{ZFC}_n$. Jetzt$\mathsf{ZFC}$und genauer $\mathsf{ZFC}_{n+1}$beweist die Existenz willkürlich großer Kardinäle $\kappa$, starke Grenzen unzähliger Kofinalität, so dass $V_\kappa$ ist ein Modell von $\mathsf{ZFC}_n$und insbesondere des Satzes $T$und so, dass darüber hinaus der Wahrheitswert von jedem $\Sigma_n$ Anweisung mit Parametern in $V_\kappa$ ist das gleiche in $V_\kappa$wie im (wahren) Universum. Wir können diese nennen$V_\kappa$ "Begrenzte Universen", da sie unter den meisten satztheoretischen Operationen wie der Einnahme von Powersets geschlossen sind, mit der Ausnahme, dass das Ersetzen entweder zählbar (der Einfachheit halber enthalten) oder auf a beschränkt sein muss $\Sigma_n$Prädikat; und insbesondere sind sie unter allen Existenzaussagen geschlossen$T$ macht.
Die Idee wäre also, das Obige auf die Konjunktion anzuwenden $T$ von allen Theoremen, die Sie als Teil der Higher Topos-Theorie betrachten (und welche anderen Theorien auch immer als Voraussetzungen verwendet werden) und finden Sie die geeigneten $n$. (Ich vermute das tatsächlich$n=1$ sollte ausreichen: Ich wäre sehr überrascht, einen Ersatz in der gewöhnlichen Mathematik zu finden, der sich nicht daraus ergibt $\Sigma_1$-Ersetzung.) Dann $\mathsf{ZFC}_n$ würde beweisen $T$ (alle Sätze der Theorie) und $\mathsf{ZFC}_{n+1}$ würde die Existenz eines endlosen Angebots an begrenzten Universen beweisen, in denen die Theorie verwendet werden kann.
Um eine Endlosschleife zu vermeiden, können Sie diesen Satz natürlich nicht berücksichtigen (derjenige, der die Existenz eines endlosen Angebots von behauptet$V_\kappa$), um Teil der Theorie zu sein, oder Sie müssen zu einer größeren wechseln $n$.
Um zu erklären, was als logischer Widerspruch erscheinen mag, muss hier klargestellt werden, dass die Aussage, dass die Existenz vieler Modelle von $\mathsf{ZFC}_n$ kann in bewiesen werden $\mathsf{ZFC}$ für jeden $n$, aber nicht einheitlich (der Beweis wird immer länger als $n$ wächst), so $n$muss eine konkrete natürliche Zahl sein, die universell quantifiziert ist (über $n$) Aussage ist in nicht nachweisbar$\mathsf{ZFC}$. Dies ist jedoch kein Problem, solange Ihre Theorie festgelegt und in formuliert ist$\mathsf{ZFC}$ (was verlangt, dass es selbst keine Metatheoreme enthält wie „für irgendeinen Beton $n$ wir können folgendes beweisen in $\mathsf{ZFC}$”). Es liegt also an Ihnen, festzustellen, ob dies bei HTT der Fall ist (und, wenn Sie mutig genug sind, das passende zu finden$n$).
(Nur um einen Eindruck davon zu bekommen, wie die Arten von Kardinälen involviert sind, die Kardinäle $\kappa$ so dass $V_\kappa$ ist ein Modell von $\mathsf{ZFC}_1$ sind die Fixpunkte der $\gamma \mapsto \beth_\gamma$Funktion. Ich glaube nicht, dass es Hoffnung auf eine vernünftige Beschreibung der gibt$\kappa$ so dass $V_\kappa$ ist ein Modell von $\mathsf{ZFC}_n$ für jeden Beton $n\geq 2$. Siehe auch diese Frage .)
- Bedeutung Prädikate mit höchstens $n$ abwechselnde Mengen unbegrenzter Quantifizierer, beginnend mit existenziellen Quantifizierern, gefolgt von einer Formel mit begrenzten Quantifizierern (Bedeutung der Form) $\forall x\in y$ oder $\exists x\in y$).
OK, ich habe heute viel Zeit damit verbracht, dies herauszufinden, indem ich mir HTT genauer angesehen habe. Es war eine ziemliche Fahrt; Ich habe meine Perspektive dabei definitiv mehrmals geändert. Derzeit scheint mir die Antwort zu sein, dass HTT, wie geschrieben, in diesem formalen System gelesen werden kann. (Das ist also wie in dem Witz, in dem nach Stunden jemand sagt: "Ja, es ist offensichtlich." Es gibt definitiv Punkte, an denen die richtige Interpretation gewählt werden muss, aber wie in jedem mathematischen Text ist dies sowieso bereits der Fall.) Also Mit dieser Antwort möchte ich ein Argument vorbringen, dass HTT in diesem formalen System gelesen werden kann, und versuchen, ein wenig zu erklären, wie bestimmte Dinge zu interpretieren sind, falls Unklarheiten auftreten können, und warum ich denke, dass es so funktionieren sollte, wenn alles so funktioniert. Aber es ist ziemlich wahrscheinlich, dass ich etwas Wichtiges übersehen habe, also bitte korrigieren Sie mich!
Wie Tim Campion bemerkt, funktionieren die meisten frühen Sachen ohne Probleme - tatsächlich werden Universen nicht einmal erwähnt. Solange es nicht funktioniert, funktioniert alles in$V_{\kappa_0}$, im $V_{\kappa_1}$, und in $V$und das gegebene Axiomschema garantiert sogar, dass alle Konstruktionen kompatibel sind.
Man muss genauer hinschauen, wenn man die Kapitel 5 und 6 erreicht. Lassen Sie mich versuchen, einige Definitionen und Sätze aus diesen Kapiteln aus drei verschiedenen Blickwinkeln zu präsentieren.
Der klassische ZFC-Standpunkt oder (äquivalent) der von Neumann-Bernays-Gödel-Theorie (NBG), der Klassen zusätzlich zu Mengen zulässt, sodass wir über die (klassengroße) Kategorie aller Mengen sprechen können $\mathrm{Set}$.
Der Standpunkt von HTT, dem ZFC + Grothendieck-Universum.
Der Standpunkt von Fefermans Mengenlehre in der in der Frage angegebenen Form. (Eigentlich bin ich mir nicht mehr sicher, ob ich diese Kofinalitätsgrenzen wirklich brauche. Aber es ist schön zu wissen, dass sie angenommen werden können.)
Beachten Sie, dass die gestellte Frage davon ausgeht, dass man sich wirklich für den ersten Standpunkt interessiert und für die anderen nur insoweit, als es sich um Annehmlichkeiten handelt, um etwas über die erste Einstellung zu beweisen. Dies stimmt mit den Inhalten der Kapitel 5 und 6 überein: Die gesamte Theorie der vorzeigbaren Kategorien passt auch philosophisch gut in die erste Einstellung.
OK, denken Sie daran, dass es sich um eine vorzeigbare Kategorie handelt - lassen Sie mich stattdessen bei Kategorien bleiben $\infty$-Kategorien, der Unterschied ist für unsere Anliegen unwesentlich - ist eine (klassengroße) Kategorie $C$ das lässt alle kleinen Colimits zu, und so, dass für einige reguläre Kardinal $\kappa$gibt es eine kleine Kategorie $C_0$ und eine Äquivalenz $C\cong \mathrm{Ind}_{\kappa}(C_0)$,
dh $C$ wird durch freie Nachbarschaft erhalten $\kappa$-gefilterte Colimits zu $C_0$. (Bestimmtes,$C_0$ ist notwendigerweise gleichbedeutend mit der vollständigen Unterkategorie von $\kappa$-Kompakte Objekte von $C$.) Vorzeigbare Kategorien werden insbesondere durch eine kleine Datenmenge bestimmt. Auch die Idee ist das$C$ist wirklich die Kategorie aller Objekte (Mengen, Gruppen, was auch immer). Dieser Standpunkt ist in 1) wirklich am deutlichsten artikuliert, während in 2) und 3) der Begriff der Präsentierbarkeit plötzlich wieder vom Universum abhängt und plötzlich wieder nur kleine Mengen / Gruppen / ... enthält; Lassen Sie mich sie dann entsprechend klein vorzeigbar nennen. Beachten Sie, dass dieser Begriff sowohl in 2) als auch in 3) sinnvoll ist und nur von abhängt$V_{\kappa_0}$. Eine klein präsentierbare Kategorie ist dann insbesondere klein definierbar, lebt also in$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$, wobei diese Einbeziehung eine Gleichheit in 2) ist (aber nicht in 3)).
In 2) würde man normalerweise eine klein darstellbare Kategorie als eine spezielle Art von großer Kategorie definieren, was der Ansatz von HTT ist. Aber hier bin ich eigentlich schon ein bisschen verwirrt: Es scheint zwei Vorstellungen von Funktoren zu geben$F: C\to D$: Diejenigen, die in definierbar sind $V_{\kappa_0}$gleichwertig $F\in V_{\kappa_0+1}$ (nämlich, $V_{\kappa_0+1}$ sind genau die Klassen von $V_{\kappa_0}$) oder alle Funktoren in $V_{\kappa_1}$. Es scheint mir nicht offensichtlich, dass irgendein Funktor$F: C\to D$ im $V_{\kappa_1}$ besteht in $V_{\kappa_0+1}$, wie $C$ und $D$ selbst leben nur in $V_{\kappa_0+1}$. Der Unterschied zwischen diesen beiden Begriffen verschwindet, wenn man sich auf zugängliche Funktoren beschränkt, die alle definierbar sind. Beachten Sie, dass 1) sagt, dass es wirklich die erste Idee ist, die uns interessieren sollte! (Bevor ich diesen Beitrag schrieb, war mir der Unterschied nicht bewusst.)
In 3) besteht die richtige Vorgehensweise darin, die durch 1) vorgegebene Perspektive zu verwenden, nämlich die von "$V_{\kappa_0}$-definierbare Kategorien ", also leben sie in $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$. Man kann diese wieder als betrachten$\kappa_1$-kleine Kategorien. Zuerst dachte ich, dass es hier einen wesentlichen Unterschied zwischen den Ansätzen von 2) und 3) geben würde, aber tatsächlich scheint es, dass man in beiden Fällen zu zwei unterschiedlichen Vorstellungen von Funktoren gelangt, die miteinander in Einklang gebracht werden, sobald man sich auf zugängliche Funktoren beschränkt.
Einer der Hauptsätze ist der Satz des adjungierten Funktors: If $F: C\to D$ist ein Funktor von vorzeigbaren Kategorien, der alle kleinen Colimits bewahrt, dann lässt er einen richtigen Adjunkt zu. Was bedeutet dieser Satz eigentlich?
In 1) bedeutet dies, dass es einen Funktor gibt $G: D\to C$ - was insbesondere bedeutet, dass es durch Formeln definierbar sein muss, da dies Funktoren zwischen Klassengrößenkategorien sind - zusammen mit (definierbaren!) Einheiten- und Ratentransformationen, die die üblichen Bedingungen erfüllen.
In 2) geht es einfach um $C$ und $D$ als klein, wenn man es betrachtet $V_{\kappa_1}$und behauptet dann die Existenz des richtigen Adjunkts dort. Ohne weitere Informationen scheint dies tatsächlich nicht das zu geben, was wir in 1) von vornherein wollten$G$(und die Einheits- und Ratstransformationen) liegen alle im größeren Universum. Aber diese Informationen können erhalten werden, indem man sich daran erinnert$G$ ist tatsächlich zugänglich (ein Teil des Satzes des zugehörigen Funktors, den ich oben nicht angegeben habe, der aber enthalten sein sollte), und so wird alles auf einer Menge bestimmt.
In 3) möchte man wieder zum Ergebnis von 1) gelangen, kann dies aber wie in 2) versuchen, indem man zuerst die Existenz solcher Daten in nachweist $V_{\kappa_1}$ und dann die Zugänglichkeit zu beweisen, was ergibt, dass alles darin liegt $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.
Lassen Sie uns sehen, wie sich dies an einigen frühen Stellen in Kapitel 5 auswirkt, an denen Universen verwendet werden.
Definition 5.1.6.2: Let $C$eine Kategorie sein, die alle kleinen Colimits zulässt. Ein Objekt$X\in C$ist völlig kompakt, wenn der Funktor$j_X: C\to \widehat{\mathrm{Set}}$ mitpräsentiert von $X$ bewahrt kleine Colimits.
Hier $\widehat{\mathrm{Set}}$ ist die (sehr große) Kategorie von Sets in $V_{\kappa_1}$. Lassen Sie uns interpretieren, was diese Definition in den obigen Systemen bedeutet.
Hier $C$ist eine beliebige (möglicherweise klassengroße) Kategorie. Beachten Sie, dass insbesondere bei HTT "lokal klein" keine Standardhypothese ist, sodass selbst Morphismen zwischen zwei Objekten richtige Mengen sein können. Aus diesem Grund muss der Funktor wirklich gehen$\widehat{\mathrm{Set}}$und darüber können wir in dieser Umgebung nicht sprechen. Man müsste also die Bedingung neu formulieren, um diesen Einwand zu erfüllen; Dies sollte nicht schwer sein, kann aber ein bisschen böse sein.
Ich denke, dass dies in der Definition impliziert ist $C$ ist jede Kategorie, in der liegt $V_{\kappa_1}$. Dies erfasst streng das Setup von 1) in dem if$C$ ist klein definierbar als aus 1), dann jedes kleine Colimit-Diagramm in $C$ ist automatisch klein definierbar.
Hier haben wir zwei Möglichkeiten: Entweder die von 1) oder die von 2), und sie geben unterschiedliche Begriffe. Im Konfliktfall ist die Perspektive aus 1) die richtige$C$ist klein definierbar, und man bittet um Kommutierung mit Spalten klein definierbarer Diagramme. Aber während wir in 1) Probleme hatten, die Bedingung zu formulieren, bedeuten die Universen in 3), dass die Bedingung jetzt formuliert werden kann: Wir können verlangen, dass es klein definierbare Colimits in nimmt$C$ zu colimits in $\widehat{\mathrm{Set}}$. Hier$\widehat{\mathrm{Set}}$ sind die Sets in $V_{\kappa_1}$.
In diesem Fall ist das Ergebnis, dass man in 3) der Interpretation etwas vorsichtig sein muss, sich aber an 1) der richtigen Definition orientieren kann; und dann hilft das System tatsächlich.
Satz 5.2.6.2: Let $C$ und $D$Kategorien sein. Dann die Kategorien$\mathrm{Fun}^L(C,D)$ von links angrenzenden Funktoren aus $C$ zu $D$, und $\mathrm{Fun}^R(D,C)$ von rechts angrenzenden Funktoren aus $D$ zu $C$ sind (kanonisch) einander äquivalent.
In dieser Perspektive macht dieser Satz nur dann wirklich Sinn, wenn $C$ und $D$ sind klein, wie sonst $\mathrm{Fun}(C,D)$es ist zu groß. (Man möchte solche Funktorkategorien berücksichtigen, wenn$C$ und $D$sind präsentabel (oder zugänglich), jedoch nur, wenn sie auf zugängliche Funktoren beschränkt sind. Das ist also eine Diskussion, die später in Kapitel 5 erscheinen würde.) Dann ist die Aussage klar genug und der gegebene Beweis gilt.
In dieser Perspektive denke ich, dass es dasselbe ist wie in 1), außer dass man das gleiche Ergebnis auch in einem anderen Universum formulieren kann.
Hier gilt das gleiche.
Beachten Sie jedoch, dass in 1) dieser Satz (noch) nicht für den Fall angewendet werden kann $C$ und $D$sind vorzeigbar. In 2) und 3) sind (kleine) vorzeigbare besonders große Kategorien, für die das Ergebnis gilt. Beachten Sie jedoch, dass die Funktorkategorien und ihre Äquivalenz alle in einem größeren Universum leben und wir auch keine Informationen darüber erhalten, dass sie liegen$V_{\kappa_0+1}$ oder $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.
Der nächste Satz befasst sich mit der Kategorie Presheaf $\mathcal P(C)=\mathrm{Fun}(C^{\mathrm{op}},\mathrm{Set})$und der Beweis ist ein typisches Argument für den Übergang in ein größeres Universum, um Probleme mit der Homotopie-Kohärenz zu lösen.
Satz 5.2.6.3: Let $f: C\to C'$ Sei ein Funktor zwischen kleinen Kategorien und lass $G: \mathcal P(C')\to \mathcal P(C)$ sei der induzierte Funktor von Presheaf-Kategorien, die durch Komposition mit induziert werden $f$. Dann$G$ ist richtig neben $\mathcal P(f)$.
Hier $\mathcal P(f)$ ist definiert als die einzigartige kleine Colimit-konservierende Erweiterung von $f$ (unter der Yoneda-Einbettung).
Hier haben wir zwei klassengroße Kategorien und Funktoren dazwischen, die alle definierbar sind (wie es sein muss). Der Vorschlag würde uns bitten, (definierbare!) Einheiten- und Ratentransformationen zu finden, wodurch einige Diagramme pendeln. Das scheint nicht zu schwer. Aber in$\infty$-Kategorien, es ist bekanntermaßen schwierig, Funktoren von Hand zu definieren, also geht Lurie nicht so vor!
Hier $\mathcal P(C)$ und $\mathcal P(C')$sind besonders große Kategorien. Tatsächlich wendet Lurie die große Yoneda-Einbettung in den Beweis an. Dies erzeugt also wirklich die Einheiten- und Ratzusätze nur in einem größeren Universum. Wie oben diskutiert, denke ich, dass dieser Beweis nicht wirklich das gibt, was wir in 1) wollten!
Wir können wie Lurie argumentieren, die Daten in einem größeren "Universum" zu produzieren. (Bearbeiten: Eigentlich muss man, wie Tim Campion betont, einen minimalen Umweg machen, um zu rechtfertigen, was geschrieben steht. Siehe Kommentare zu seiner Antwort.)
Wenn man diesen Satz entweder in System 2) oder 3) liest, sollte man einen mentalen Marker setzen, dass die bisher bewiesene Aussage schwächer ist, als man naiv hoffen könnte. Dies wird jedoch später korrigiert, indem beobachtet wird, dass alles durch eine kleine Datenmenge bestimmt wird.
Fazit: Während ich zuerst dachte, dass es einen wesentlichen Unterschied zwischen 2) und 3) geben würde, denke ich tatsächlich, dass es (fast) keinen gibt. Ein Unterschied ist das$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$ ist eine ordnungsgemäße Einbeziehung, aber in der Praxis der Weg, um die Eindämmung in zu gewährleisten $V_{\kappa_0+1}$ scheint zu sein, Definierbarkeit in zu beweisen $V_{\kappa_0}$ (zum Beispiel durch den Nachweis, dass bestimmte Funktoren zugänglich sind).
OK, jetzt sag mir, warum das nicht funktioniert! :-)
Die Beantwortung dieser Frage hängt stark davon ab, was Sie von der Higher Topos-Theorie erwarten, da das Ausdrücken einer hohen logischen Stärke ein anderes Ziel ist als das Ausdrücken eines treffend einheitlichen logischen Rahmens für die algebraische Geometrie und die Zahlentheorie. Einheitliche starke Grundlagen für die allgemeine kategoriale Mathematik sind ein gutes Ziel und scheinen das Ziel vieler Mitwirkender zu sein. Für dieses Ziel ist alles relevant, was in Kommentaren und Antworten auf diese Frage gesagt wird. Eine gute Arbeit in der Geometrie- und Zahlentheorie erfordert jedoch keine große logische Stärke.
Während HTT stärker mit Universen verflochten ist als SGA, nutzen weder HTT noch SGA das (sehr starke) Axiomschema des Ersetzens wirklich. Somit können sie "Universen" verwenden, die radikal schwächer sind als die von Grothendieck. Als typisches und deutsches Beispiel machte Grothendieck nur einen Appell an das Axiomschema des Ersatzes. Dies ist ein entscheidender Beweis dafür, dass jede AB5-Kategorie mit einem Stromaggregat über genügend Injektionen verfügt. Und diese Verwendung von Ersatz erweist sich als eliminierbar. Es hat funktioniert, aber Grothendieck brauchte es eigentlich nicht, um sein Ergebnis zu erzielen.
Um Grothendiecks Einsatz von Ersatz zu erweitern: Reinhold Baer verwendete in den 1940er Jahren die transfinite Induktion (die das Axiomschema des Ersatzes erfordert), um zu beweisen, dass Module (über einen bestimmten Ring) genügend Injektive haben. Er erforschte bewusst neue Beweistechniken und erzielte ein gutes Ergebnis. Grothendiecks Tohoku hat diesen Beweis in einer Form erbracht, die zeigt, dass jede AB5-Kategorie mit einem kleinen Satz Generatoren über genügend Injektionen verfügt - und einige Jahre später stellte Grothendieck fest, dass dies genau der Satz war, den er für die Topos-Kohomologie benötigte. Baer und Grothendieck hatten beide praktische Ziele, die nicht an Stiftungsprobleme gebunden waren, aber beide wollten auch die Grundlagen richtig machen. Und sie taten es. Es stellt sich jedoch heraus, dass sie dieselben Theoreme korrekt und ersatzlos durch nahezu dieselben Beweise hätten erhalten können, indem sie zunächst ausreichend große Funktionssätze spezifizierten (unter Verwendung des Potenzsatzes, aber nicht des Ersatzes). Es gibt Ergebnisse, die wirklich das Ersatzaxiomschema erfordern. Diese Ergebnisse treten jedoch selten außerhalb der Grundlagenforschung auf.
Viele Menschen, die seit den 1960er Jahren aus sehr unterschiedlichen Blickwinkeln kommen (einige Logiker, andere mögen Logik nicht), haben bemerkt, dass im Kontext der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie die hohe logische Stärke von Grothendiecks Universumsaxiom ein tatsächlich ungenutztes Nebenprodukt von ist Grothendiecks Wunsch nach einem einheitlichen Rahmen für die Kohomologie. Das kann jetzt ganz genau gemacht werden: Der gesamte Grothendieck-Apparat, einschließlich nicht nur der abgeleiteten Funktorkohomologie von Topos, sondern auch der 2-Kategorie von Topos und abgeleiteten Kategorien, kann fast genauso formalisiert werden, wie er von Grothendieck formalisiert wurde, aber bei logische Stärke weit unter Zermelo-Fraenkel oder sogar Zermelo-Mengenlehre. Gleiches gilt für HTT. Sie können es ohne unzugängliche Universen oder Reflexionen erhalten, solange Sie nicht die enorme (und selten verwendete) Stärke des Ersatzes benötigen. Der Beweis wurde für HTT nicht tatsächlich erbracht. Es war für Grothendiecks Gebrauch von Universen . Es scheint klar, dass dies auch für HTT funktioniert.
Die logische Stärke, die benötigt wird, wurde auf gleichgültige Weise ausgedrückt: Einfache Typentheorie (mit Arithmetik), Arithmetik endlicher Ordnung, Elementartheorie der Kategorie von Mengen, Bounded Quantifier Zermelo-Mengenlehre. Grob gesagt setzen Sie eine Reihe natürlicher Zahlen und Sie setzen voraus, dass jede Menge eine Potenzmenge hat, aber Sie setzen keine unbegrenzte Iteration von Potenzmengen. Eine ziemlich naive Universaltheorie kann über jede dieser Universen konservativ gegeben werden (die Art und Weise, wie die Godel-Bernays-Mengenlehre gegenüber ZFC konservativ ist) und für alle großen Strukturapparate der Grothendieck-Schule geeignet sein.
Ich würde eine konservative Erweiterung von ZFC in Betracht ziehen, die aus ZFC durch Hinzufügen einer Konstante erhalten wird $\alpha$ und die folgenden Axiome:
$\alpha$ ist eine Ordnungszahl ($Ord(\alpha)$).
Der Satz $\phi\leftrightarrow\phi^{V_\alpha}$für jeden Satz in der Originalsprache $\phi$ (Axiomschema).
$V_{\alpha}$ verhält sich wie $V$(für alle Sätze in der Sprache der Mengenlehre). Wenn zwei (oder mehr) Universen benötigt werden, kann man eine weitere Konstante hinzufügen$\beta$ mit den entsprechenden Axiomen und dem Axiom $\alpha<\beta$.
Der Beweis, dass die resultierende Theorie gegenüber ZFC konservativ ist, ist einfach.
Annehmen, dass $\phi$ ist aus den neuen Axiomen beweisbar (Axiome mit $\alpha$), in welchem $\phi$ist in der Originalsprache. Da jeder Beweis endlich ist, gibt es endlich viele Sätze$\phi_1$, ..., $\phi_n$ so dass
$Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}})\rightarrow \phi$
ist ohne neue Axiome beweisbar. Daher kann man sich vorstellen$\alpha$als freie Variable und der obige Satz ist in ZFC (Satz über Konstanten) beweisbar. Schon seit$\alpha$ tritt nicht in auf $\phi$ist die folgende Implikation in ZFC nachweisbar ($\exists$-Einführung):
$\exists\alpha(Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}}))\rightarrow \phi$
Das Reflexionsprinzip für ZFC besagt nun, dass der Vorgänger ein ZFC-Theorem ist. Aus modus ponens beweist ZFC$\phi$.
So können Sie mit den neuen Axiomen und arbeiten $V_{\alpha}$ verhält sich wie ein Universum, und alles, was bewiesen ist, erwähnt nicht $\alpha$ kann bereits in ZFC nachgewiesen werden.
Eine Frage, die in den Kommentaren auftauchte, betraf die Motivation , die Frage zu stellen. Lassen Sie mich versuchen, dies hier anzusprechen.
In erster Linie geht es ums Lernen! Wie ich in der ursprünglichen Frage erwähnt habe, habe ich mich mit einigen "dummen" Kardinalgrenzen herumspielen lassen und erst später etwas über das Reflexionsprinzip gelernt, also wollte ich verstehen, was es kann (und was nicht) und ob ich kann irgendwie irgendwie weitere komplizierte Versionen solcher Schätzungen automatisch in diese Maschine verbannen. Es ist also die übliche Sache, bei der Sie nur in einem dunklen Raum herumstolpern und möchten, dass der Raum beleuchtet wird! Vielen Dank an euch alle für die aufschlussreichen Antworten!
Ein weiterer Grund ist, dass ich kürzlich ein bisschen frustriert war über die Lösung der Grothendieck-Universen für das vorliegende Problem. Lassen Sie mich erklären.
Ich möchte sehr gerne über die Kategorie aller Mengen oder aller Gruppen usw. sprechen und Theoreme darüber beweisen. Und zumindest in der von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) -Version der ZFC-Theorie, die Klassen erlaubt, ist dies ein vollkommen gültiger Begriff. Daher finde ich es ontologisch sehr erfreulich, in dieser Umgebung zu arbeiten, und möchte sehr, dass der Satz des angrenzenden Funktors ein Satz über (vorzeigbare) Kategorien in diesem Sinne ist.
Jetzt werden präsentierbare Kategorien durch eine kleine Datenmenge bestimmt, sodass man immer mit dieser kleinen Datenmenge arbeiten und die relativen Größen sorgfältig verfolgen kann. Tatsächlich verfolgen viele Beweise in HTT explizit solche relativen Größen, aber es gibt immer noch einige Stellen, an denen es schön ist, zuerst eine "breitere Sicht" zu haben und diese großen Kategorien so zu betrachten, als wären sie klein.
In der Tat handelt es sich beim Zusatzsatz für Funktoren um Funktoren zwischen großen Kategorien, und es wird schnell unangenehm, innerhalb von NBG / ZFC darüber zu sprechen. Beachten Sie, dass die Aussage des Satzes des adjungierten Funktors durchaus Sinn macht - sie fragt nur, ob alle Daten des Adjunkts definierbar sind. Aber es ist ein bisschen böse zu versuchen, von "innen" über diese Dinge zu sprechen. Es wäre also auf jeden Fall schön, eine Art Meta-Theorie zu haben, mit der man über diese großen Kategorien streiten und so tun kann, als wären sie klein. Die subtile Frage der "Definierbarkeit von innen" mag in dieser Metatheorie a priori verloren gehen, aber ich betrachte diese Frage der "Definierbarkeit von innen" als zentral, denn schließlich wollte ich einen Satz über alle Mengen, also habe ich ' Ich bin in Ordnung, wenn ich ein wenig darauf achten muss - und um die Pointe wegzunehmen, stellt sich heraus, dass dies genau der Unterschied zwischen der Arbeit mit Grothendieck-Universen und der Arbeit mit Fefermans "Universen" ist.
Das ist also das, wofür Grothendieck-Universen gedacht sind: Sie geben Ihnen immer ein größeres Universum für jedes Universum, in dem Sie gerade arbeiten. Ich finde die Existenz von Grothendieck-Universen völlig intuitiv, und tatsächlich scheint es völlig gleichwertig zu sein, ihre Existenz zu setzen unendliche Menge an erster Stelle: Sie erlauben nur, alles, was Sie bereits haben, in einer größeren eigenen Einheit zu sammeln.
Aber jetzt plötzlich, was ich früher dachte, als alle Sets werden die kleinen Sets genannt, und es gibt auch viele größere Sets. Selbst wenn ich in dieser Einstellung einen adjungierten Funktorsatz beweise, handelt es sich nicht mehr um einen Satz über Funktoren zwischen Kategorien aller Mengen / Gruppen / ..., sondern nur um einen der Funktoren zwischen kleinen Mengen / Gruppen / ... Also, wenn Sie Denken Sie darüber nach, selbst in ZFC + Grothendieck-Universen werden Sie niemals den Satz beweisen, den Sie tatsächlich wollten, über die Kategorie aller Mengen. (Eigentlich habe ich bis vor kurzem angenommen, dass der Satz des adjungierten Funktors (z$\infty$-Kategorien) ist eine Aussage von ZFC, die unter "ZFC + Universen" bewiesen wurde, aber das ist nicht ganz richtig: Die Aussage, die bewiesen wurde, kann sogar nur in ZFC + Universen formuliert werden.)
Was bewiesen wurde, ist, dass es konsistent ist, dass der Satz des adjungierten Funktors gilt. Unter der Annahme der Konsistenz von ZFC + -Universen haben Sie nun ein Modell von ZFC erstellt - das von kleinen Mengen in Ihrem Modell von ZFC + -Universen -, in dem der Satz wahr ist. Sie könnten jetzt in der Theorie "ZFC + der Satz des adjungierten Funktors" arbeiten, in der der Satz des adjungierten Funktors auf die Kategorie aller Mengen / Gruppen / ... angewendet werden kann , aber das fühlt sich für mich definitiv wie ein Betrug an. Sie haben nicht einmal bewiesen, dass "ZFC + Universen + der Satz des adjungierten Funktors" konsistent ist! (Sie würden das bekommen, wenn Sie mit der Konsistenz von etwas mehr als ZFC + Universen beginnen und danach fragen$\kappa$ so dass $V_\kappa$erfüllt ZFC + Universen. Auch dies scheint mir eine völlig faire Annahme zu sein - machen Sie einfach weiter.) Aber jetzt können Sie die Gefahr erkennen, dass Sie versehentlich die Konsistenzleiter hinaufsteigen, wenn Sie implizit beginnen, immer mehr Theoreme aufzurufen, die sich auch für kleine Mengen bewährt haben für alle Sets.
Es wäre viel schöner, wenn Sie wissen würden, dass in ZFC + Grothendieck-Universen alles, was Sie über kleine Mengen bewiesen haben, auch ein Theorem über die gesamte Umgebungskategorie aller Mengen ist. Dies ist nicht automatisch, aber Sie können dies als Axiomschema hinzufügen. Mike Shulman in Abschnitt 12 der Mengenlehre für die Kategorietheorie (arXiv: 0810.1279) diskutiert diese Idee (die er als ZMC bezeichnet): Ich finde sie ontologisch sehr erfreulich, sie scheint auch eine sehr einfache Axiomatisierung zu haben (sogar einfacher als ZFC!). aber
a) Dieses zusätzliche Axiomschema ist für mich nicht ganz selbstverständlich: Warum sollte alles , was in kleinen Mengen wahr ist, auch für alle Mengen gelten? (Vor allem , wenn wir hatten ein paar Probleme , das gewünschte Ergebnis in erster Linie erweist sich außerdem Kenntnis, dass es auf jeden Fall nicht. Nicht für halten jede Vorstellung von kleinen Mengen: Vielmehr das Axiom Garantien Schema , dass es einige Vorstellung von kleinen Mengen , für die diese Art Nun scheint mir das ein bisschen zweifelhaft zu sein, da ich an erster Stelle nie kleine Sets wollte, also setze ich sie jetzt und bitte auch darum, dass sie immer noch das gesamte Verhalten aller Sets widerspiegeln. Wahrscheinlich in Ordnung, aber nicht für mich selbstverständlich.)
b) Die Konsistenzstärke dieses Axiomschemas ist erheblich höher: Sie entspricht der Konsistenz eines Mahlo-Kardinals. Dies ist immer noch gering, wenn es um große Kardinäle geht, aber es ist viel viel höher als bloße Grothendieck-Universen (die am Ende der Hierarchie wirklich niedrig sind).
In Bezug auf a) weist die Tatsache, dass wir die Konsistenz des adjungierten Funktorsatzes aus der Konsistenz der Grothendieck-Universen beweisen konnten, in die richtige Richtung, aber dies allein garantiert nicht, dass beide zusammen konsistent sind. Ich kann mir vorstellen, dass ich mich davon überzeugen könnte, dass das Axiomschema vernünftig ist, aber ich denke sicherlich, dass es viel mehr Rechtfertigung braucht als bloße Grothendieck-Universen. (Nebenfrage: Wie groß sind die großen Kardinäle, die man mit der Idee rechtfertigen kann, "alles sammeln zu dürfen, was wir bereits hatten"? Ich bin mir nicht sicher, ob dies eine völlig genau definierte Frage ist ... aber für mich, a Der messbare Kardinal ist definitiv nicht von dieser Art (aber ich stehe gerne korrigiert da), da er die Entstehung neuer kombinatorischer Merkmale zu vermuten scheint.)
Ein weiterer Grund, warum ich kürzlich ein bisschen unzufrieden mit Grothendieck-Universen war, ist, dass wir sie zwar in gewissem Sinne verwenden möchten, um satztheoretische Feinheiten ignorieren zu können, aber in gewisser Weise zurückkommen, um Sie zu beißen, wie Sie jetzt angeben müssen welches Universum bestimmte Dinge leben. Manchmal müssen Sie dann sogar mehrere verschiedene Universen für verschiedene Objekttypen angeben (denken Sie an Garben auf profiniten Mengen), und ich finde, dass es schnell ziemlich hässlich wird. Ich würde viel lieber alle Objekte zusammen in einem Universum leben lassen.
Während ich über Garben auf profiniten Sets nachdachte, fand ich die Lösung mit nur einem Universum viel ästhetischer und ontologisch ansprechender, und diese Lösung (komprimierte Sets) kann problemlos in ZFC formalisiert werden.
OK, also behaupte ich, dass die Grothendieck-Universen das Problem, das sie lösen wollten, nicht wirklich gelöst haben
a) Sie erlauben es Ihnen immer noch nicht, Theoreme über die Kategorie aller Mengen / Gruppen / ... zu beweisen (außer als Konsistenzergebnis oder unter stärkeren großen Kardinalaxiomen).
b) Wenn Sie mit ihnen arbeiten, müssen Sie sich immer noch um Größenprobleme kümmern - Ihre Kategorie aller Sets ist jetzt in Sets aller Arten unterschiedlicher Größen (dh in verschiedenen Universen) unterteilt.
Darüber hinaus erhöhen sie auch die Konsistenzfestigkeit.
Jetzt, nach dieser wunderbaren Diskussion hier, denke ich, dass Fefermans Vorschlag tatsächlich viel besser ist. Wie auch Mike Shulman kommentierte, betrachte ich Fefermans Axiome nicht als Beschreibung einer ontologisch korrekten Welt, sondern als "Bequemlichkeiten" von Fefermans Theorie, nur um über große Kategorien zu sprechen, als ob sie klein wären. Mit anderen Worten, Fefermans Theorie gibt Ihnen genau eine Meta-Theorie, in der Sie über so große Kategorien von "außen" streiten können. Aber es ist eine Theorie, die ich immer nur verwenden würde, um einen Satz von ZFC zu beweisen. Im Vergleich zu Grothendieck-Universen ist Fefermans Theorie
a) erlaubt es Ihnen, Sätze über die Kategorie aller Mengen / Gruppen / ... zu beweisen , da es explizit ein Axiomschema enthält, dass alle Sätze über kleine Mengen auch Sätze über alle Mengen sind.
b) Natürlich ist es innerhalb eines Beweises eines ZFC-Theorems, das einige nicht triviale Größenprobleme aufwirft, sehr zu begrüßen, dass die Theorie es Ihnen ermöglicht, über verschiedene Größen zu sprechen. Darüber hinaus geschieht dies auf eine Weise, bei der Sie immer noch alle Axiome von ZFC auf jedes der "Universen" anwenden können, und es wird auch "hinter den Kulissen" darauf geachtet, wie alles in Bezug auf (möglicherweise äußerst subtile) Kardinalgrenzen neu geschrieben wird in ZFC selbst. Es ist also wie eine Programmiersprache auf hoher Ebene für Argumente, die schwierige Kardinalschätzungen in ZFC beinhalten.
Darüber hinaus erhöht es nicht die Konsistenzstärke, und tatsächlich sind alle in dieser Sprache nachgewiesenen Aussagen von ZFC Theoreme von ZFC. (Wie ich oben erinnerte, könnten wir auch a) + b) mit Grothendieck-Universen haben, würden dann aber die Konsistenz eines Mahlo-Kardinals erreichen.)
Das Ergebnis ist also, dass ich denke, dass Fefermans Universen das Problem der Bereitstellung einer Meta-Theorie, um "über große Kategorien zu sprechen, als ob sie klein wären", viel besser lösen als Grothendieck-Universen.
Lassen Sie mich einige letzte Gründe für die Frage hinzufügen. Ich denke, dass höherkategoriale Techniken wie die in HTT beschriebenen von sehr zentraler Bedeutung sind, nicht nur in der algebraischen Topologie, aus der sie stammen, sondern in der gesamten Mathematik. Ich kann dies sicherlich in Bezug auf die Zahlentheorie und die algebraische Geometrie bestätigen. Ihre Zentralität ist daher auch ein wichtiger Grund, ihre Konsistenzstärke zu analysieren.
Das Lesen von HTT ist eine sehr triviale Angelegenheit - es ist lang und kompliziert. Einige Kollegen aus der Zahlentheorie haben jedoch erklärt, dass einer der Hauptgründe, warum sie HTT nicht lesen konnten , darin besteht, dass Universen verwendet werden . Sie sind nämlich so an ZFC gewöhnt (und daran, mit äußerster Sorgfalt zu prüfen!), Dass sie automatisch versuchen, jegliche Verwendung von Universen in einem Argument zu eliminieren. Nun, in SGA, zumindest wenn Sie nur an Anwendungen für die etale Kohomologie vernünftiger Schemata interessiert waren, konnten Sie dies von Hand tun - fügen Sie beispielsweise einfach einige Zählbarkeitsannahmen hinzu, um die Dinge klein zu machen. In HTT sehe ich jedoch keine Möglichkeit, dass jemand beim Lesen Kardinalgrenzen setzen kann - die Argumente sind dafür viel zu komplex.
Jetzt hoffe ich, dass ich ihnen sagen kann, dass sie überprüfen können , ob alles in ZFC funktioniert, und dass sie HTT (im Wesentlichen) wie geschrieben lesen können, wenn sie es in Fefermans Mengenlehre lesen. Wenn sie sorgfältig prüfen (was sie wollen), müssen sie möglicherweise noch ein kleines Lemma hier und ein kleines zusätzliches Argument dort ausfüllen - aber sie müssten es trotzdem tun, in jedem Buch mit ~ 1000 Seiten, und ich könnte mir vorstellen dass weniger als die Hälfte dieser Randbemerkungen damit zu tun hat, Grothendieck-Universen durch Fefermans "Universen" zu ersetzen. Sollte jemand dieses Projekt tatsächlich durchführen, verdienen sie natürlich die volle Anerkennung, wenn sie diese wichtige Arbeit erfolgreich erledigen!
Lassen Sie mich mit einer sehr kurzen Anmerkung zu dem beginnen, was der wichtigste Punkt in der Übersetzung zu Fefermans Theorie zu sein scheint. Ich habe den Punkt erkannt, den Tim Campion in seiner Antwort angesprochen hat, und ich sehe jetzt, dass dies auch in Jacob Luries zweiter Antwort erwähnt wurde. Es ist ungefähr das Folgende. Wenn$C$ ist eine vorzeigbare Kategorie, dann gibt es eine kleine Kategorie $C_0$ so dass $C=\mathrm{Ind}_\kappa(C_0)$
für einige reguläre Kardinal $\kappa$, angrenzend frei alle klein $\kappa$-gefilterte Colimits. Das macht$C$ natürlich eine Vereinigung von $C_\tau$'s, wo $C_\tau$ sammelt nur die $\tau$-klein $\kappa$-gefilterte Colimits. Hier$\tau$ ist ein regulärer Kardinal, so dass $\tau\gg \kappa$. Diese zunehmende Struktur von$C$ als eine Vereinigung von $C_\tau$'s ist zentral in der Theorie der vorzeigbaren Kategorien, aber die Ebenen werden wirklich von (bestimmten) regulären Kardinälen aufgezählt $\tau$. Wenn Sie Ihr Universum vergrößern, erhalten Sie auch eine größere Version$C'$ von $C$ selbst und in Grothendieck-Universen $C$ ist jetzt eine der schönen Schichten $C'_\tau$ von $C$, wo $\tau$ist der Cutoff-Kardinal des vorherigen Universums. Aber in Fefermans Universen ist dies$\tau$ist nicht regelmäßig. Dies mag einige Argumente subtiler machen, aber ich würde erwarten, dass man dieses Problem normalerweise durch einfaches Einbetten lösen kann$C$ in einige $C'_\tau$ mit $\tau$ Ein regulärer Kardinal ist größer als der Cutoff-Kardinal des kleineren Universums.
Als Reaktion auf die Bearbeitung, die die Dinge auf ein formales System mit Kardinälen beschränkt $\kappa_{-1} < \kappa_0 < \kappa_{1/2} < \kappa_1$::
Ich werde mich auf ein vielleicht schlecht beratenes Glied begeben und vorhersagen, dass keine echte Kardinalarithmetik erforderlich sein wird, um die Kapitel 1 bis 4 in dieses formale System einzufügen. Vielmehr müssen Sie für diesen Teil des Buches nur Hypothesen der Form durchgehen und zu verschiedenen Theoremaussagen hinzufügen. "$X$ ist $\kappa_{-1}$-small ". Schließlich befasst sich dieser Teil des Buches wirklich nur mit kleinen Objekten, mit Ausnahme einiger besonders großer Objekte wie der Kategorie kleiner einfacher Mengen, der Kategorie kleiner einfacher Kategorien usw. und Dingen wie Schichtkategorien davon. Verschiedene Modellstrukturen werden konstruiert, aber ich glaube, man kann in jedem Fall damit auskommen, den Spezialfall des kleinen Objektarguments zur Erzeugung von Cofibrationen / azyklischen Cofibrationen zwischen endlich präsentierbaren Objekten zu verwenden, so dass keine transfinite Induktion erforderlich ist. Auf den ersten Blick sieht das Begradigen / Nicht-Begradigen wie Konstruktionen aus, die die Mengenlehre auf ernsthafte Weise verwenden könnten. Aber ich werde weitermachen und vorhersagen, dass sie für das vorgeschlagene formale System keine Probleme darstellen.
Kapitel 5 wird nerviger. Ich glaube, dass man einige sorgfältige Entscheidungen über die Kernsätze von präsentable treffen muss ($\infty$)-Kategorien. Was vorzeigbare Kategorien zum Ticken bringt, ist, dass sie den Satz des adjungierten Funktors sehr sauber verpacken, aber wie Sie sagen, ist der gewöhnliche Satz des adjungierten Funktors in dieser Einstellung mit Einschränkungen verbunden. Ich könnte sogar sagen, dass der ganze Sinn des Denkens über vorzeigbare Kategorien in dieser Situation völlig rückgängig gemacht wird. Sie werden nicht in der Lage sein, grundlegende Dinge wie "Präsentierbare Kategorien sind genau die zugänglichen Lokalisierungen von Presheaf-Kategorien" zu beweisen. Ich gehe davon aus, dass unabhängig davon, welche Entscheidungen über die Formulierung schwacher Versionen der Kernsätze vorzeigbarer Kategorien in dieser Umgebung getroffen werden, eine Anwendung oder eine potenzielle Anwendung darunter leiden wird.
Die Kapitel 5 und 6 enthalten auch einige Sätze über bestimmte sehr große Kategorien wie die $\infty$-Kategorie der vorzeigbaren $\infty$-Kategorien und die $\infty$-Kategorie von $\infty$-topoi [1]. Das System scheint so zu sein , dass dies nicht wirklich ein Problem sein , per se , mit der Ausnahme , dass die in den Grundlagen Darstellbarkeit Theorie begegnet Fragen werden jetzt eingemischt werden. Sie werden das nicht beweisen können$Pr^L$ ist dual zu $Pr^R$. Sie werden nicht in der Lage sein, Girauds Theorem zu beweisen (nun, die Definitionen werden sowieso im Fluss sein, daher sollte ich klarstellen: Sie werden nicht beweisen können, dass links exakt zugängliche Lokalisierungen von Presheaf-Kategorien die gleichen sind wie lokal klein Kategorien, die eine Liste der Vollständigkeits-, Generierungs- und Genauigkeitsbedingungen erfüllen). Also irgendein Satz über$\infty$-topoi, dessen Beweis mit dem Presheaf-Fall beginnt und dann lokalisiert wird, muss komplett neu überdacht werden.
Vielleicht bin ich hier nicht auf der Basis, aber ich glaube, dass für die Kapitel 5 und 6 erhebliche zusätzliche Arbeit und wirklich neue mathematische Ideen erforderlich wären, und das Ergebnis wäre eine Theorie, die wesentlich schwieriger anzuwenden ist.
Im Gegensatz dazu denke ich, wenn Sie bereit sind, die Aufmerksamkeit auf große Kategorien zu beschränken, die aus kleinen Parametern definiert werden können, dann werden Sie zwar die schöne Fähigkeit vermissen zu sagen: "Wir haben dies für kleine Kategorien bewiesen, aber jetzt können wir es auf große anwenden." diejenigen ", erhalten Sie eine viel benutzerfreundlichere Theorie der Präsentierbarkeit, ohne ZFC zu verlassen.
[1] Tatsächlich sind diese Kategorien in üblichen Stiftungen (bis zur Äquivalenz) nur groß und nicht sehr groß (genauer gesagt, sie haben) $\kappa_0$-viele Objekte und $\kappa_0$-große Homs), aber ein Minimum an Arbeit ist erforderlich, um dies zu zeigen. Wird das in diesem formalen System noch der Fall sein? Ich bin mir nicht sicher.
EDIT: Ein langer Kommentar als Antwort auf Peter Scholze der Antwort .
Eine Sache, die mir gerade klar wurde, ist, dass wenn$\kappa_0$ ist kein $\beth$-fixed-point, dann nicht jeder gesetzt $V_{\kappa_0}$ hat Kardinalität $<\kappa_0$, so dass die Begriffe "Kleinheit" multipliziert werden. Glücklicherweise denke ich, dass Ihr formales System dies beweist$V_{\kappa_0}$ hast $\Sigma_1$-Ersetzung, was impliziert, dass es ein ist $\beth$-Fixpunkt. Krise abgewendet!
Vielleicht ist dieser Ansatz der systematischen Verwendung von Definierbarkeitshypothesen innerhalb einer "Universumsumgebung" praktikabel - indem das "Beste aus beiden Welten" kombiniert wird. Eine schöne Sache ist, dass Sie, obwohl Sie explizit metamathematische Hypothesen verwenden, anscheinend immer noch in der Lage sind, diese Theoreme als einzelne Theoreme und nicht als Schema zu formulieren und zu beweisen.
Ich bin etwas verwirrt über Proposition 5.2.6.3 (die letzte, die Sie diskutieren, und eine Babyversion des Satzes des zugehörigen Funktors). Ich nehme an, dass die Presheaf-Kategorie$P(C)$ wird definiert, um diese Funktoren zu umfassen $C^{op} \to Spaces$ welche liegen in $Def(V_{\kappa_0})$. Wenn wir in ein größeres Universum übergehen, verläuft der Übergang normalerweise ziemlich nahtlos, weil wir dies erwarten$P(C)$ um alle colimits indizieren zu lassen von $\kappa_0$-Kleine Kategorien - eine vollkommen natürliche Eigenschaft, mit der man arbeiten kann $V_{\kappa_1}$. In der Tat besteht der erste Schritt von Luries Beweis von 5.2.6.3 darin, zu zeigen, dass ein linker Adjunkt existiert, indem man die Tatsache verwendet, dass$P(C)$hat alle kleinen Colimits [2]. In der gegenwärtigen Situation können wir dies jedoch niemals annehmen$\kappa_0$ ist regelmäßig, und deshalb können wir das nie annehmen $P(C)$hat alle kleinen colimits. Das Beste, was wir sagen können, ist das$V_{\kappa_0}$ denkt $P(C)$hat alle kleinen colimits. Solange wir arbeiten$V_{\kappa_0}$, diese Eigenschaft ist "genauso gut" wie tatsächlich alle kleinen Colimits. Aber wenn wir aufsteigen$V_{\kappa_1}$Plötzlich müssen wir daran denken, was es ist - eine metamathematische Eigenschaft. Vielleicht später werde ich hinsetzen und versuchen , ob der Nachweis von 5.2.6.3 Luries zu sehen in dieser Einstellung an die Arbeit gemacht werden, aber ich denke , prima facie es ist unklar.
[2] Erst nachdem er die Existenz auf diese Weise abstrakt überprüft hat, zeigt er, dass der linke Adjunkt der angegebene Funktor sein muss. Natürlich ist dieses Manöver tatsächlich eine zusätzliche Komplikation, die mit dem einhergeht$\infty$-Kategoriale Einstellung - In gewöhnlichen Kategorien können die Formeln für die beiden Funktoren direkt als adjungiert überprüft werden, jedoch in $\infty$-Kategorien Die Formel für den linken Adjunkt ist offensichtlich nicht funktional.