Geben Sie ein Beispiel für die Quotiententopologie? [geschlossen]

Dec 24 2020

Geben Sie ein einfaches Beispiel für die Quotiententopologie?

Mein Versuch : Ich habe hier ein Beispiel , aber ich habe Schwierigkeiten, das Beispiel zu verstehen

Ich brauche ein Beispiel, das leicht zu verstehen ist

Ich kenne die Definition von

Quotiententopologie : let$X$ ein topologischer Raum sein und $~$ eine Äquivalenzbeziehung auf $X$. Für jeden$x \in X$ bezeichnen mit $[x]$ seine Äquivalenzklasse. Der Quotientenraum von $X$ Modulo $ \sim$ wird durch die Menge gegeben

$X/\sim~ =\{[x] : x \in X \}$

Wir haben die Projektionskarte $p: X \to /\sim ,x \to [x]$ und wir gleichen aus $X/\sim$ durch die Topologie

$U\subseteq$ $X/ \sim~$ ist genau dann geöffnet, wenn $p^{-1}(u)$ ist eine offene Teilmenge von $X$

Antworten

4 GEdgar Dec 24 2020 at 04:04

Hier ist ein schönes Beispiel: Beginnen Sie mit dem kompakten Intervall $[0,1]$. "Identifizieren Sie die Endpunkte", um einen (topologischen) Kreis zu erhalten. Dies bedeutet, dass Ihre Äquivalenzbeziehung ist$x \sim y$ wenn auch nicht $x=y$ oder aber $\{x,y\} = \{0,1\}$.

Andere gebräuchliche beginnen mit einem Quadrat $[0,1] \times [0,1]$und identifizieren Sie die Grenzen auf bestimmte Weise. Abhängig davon, wie Sie die Grenzpunkte identifizieren, können Sie eine (topologische) Kugel, einen Zylinder, ein Möbius-Band, einen Torus, eine Klein-Flasche oder andere Dinge erhalten.