Geometrische Multiplizität für Nicht-Null-Eigenwerte von Matrizen $AB$ und $BA$.
Auf dieser Seite werden so viele Informationen über Eigenwerte von gegeben $AB$ und $BA$ für quadratische Matrizen $A$ und $B$. Als charakteristisches Polynom von$AB$ und $BA$sind gleich, so dass beide den gleichen Satz von Eigenwerten mit Multiplizität haben. Jetzt möchte ich etwas über die geoemetrische Vielfalt und als eine von wissen$AB$ und $BA$ kann Null werden und andere nicht einmal diagonalisierbar sein, so dass ich schließen kann, dass geometrische Multiplizität des Eigenwerts $0$kann nicht gleich sein. Was ist nun mit der geometrischen Vielzahl gemeinsamer Nicht-Null-Eigenwerte? Werden sie gleich sein? dh wenn$a\neq 0$ dann können wir sagen $$Geo.Mult_a(AB) =Geo.Mult_a(BA)? $$Bitte erklären oder geben Sie ein Gegenbeispiel. Vielen Dank.
Antworten
Hier ist eine etwas andere Erklärung für die Gleichheit der Dimensionen der Eigenräume von $AB$ und $BA$für Eigenwerte ungleich Null als in den anderen Antworten (bisher); Dies führt zu dem etwas stärkeren Ergebnis, dass die Jordan-Typen (Listen mit Größen von Jordan-Blöcken) auch für Eigenwerte ungleich Null gleich sind. Für jeden linearen Operator$T$ es gibt eine einzigartige $T$-stabiler komplementärer Unterraum$~W$ auf den verallgemeinerten Eigenraum für den Eigenwert$~0$. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, es zu beschreiben: über ein algebraisch geschlossenes Feld,$W$ist die (direkte) Summe aller anderen verallgemeinerten Eigenräume; es ist das Bild von$T^k$ für ausreichend groß$~k$ ($k=n$, die Dimension des Raumes, ist sicherlich ausreichend); wenn$Q$ ist der Quotient des charakteristischen Polynoms durch irgendwelche Faktoren$~X$ es enthält also $W=\ker(Q[T])$.
Nun lass $T$ sei der lineare Operator gegeben durch $AB$ und lass $W_0$ sei dieser Unterraum$~W$dafür. Durch die Konstruktion der Einschränkung von$T$ zu $W_0$ ist invertierbar (hat nicht $0$als Eigenwert). Wenn$W_1$ ist das Bild von $W_0$ unter Multiplikation mit $B$Wir haben lineare Karten $b:W_0\to W_1$ (gegeben durch Multiplikation mit $B$) und $a:W_1\to W_0$ (gegeben durch Multiplikation mit $A$) deren Zusammensetzung $a\circ b$ ist diese invertierbare Einschränkung von $T$ zu $W_0$, damit $a$ und $b$muss jeweils invertierbar sein. Beginnen mit$T'$ gegeben durch $BA$ Anstatt von $AB$sieht man, dass sein Unterraum $W$ ist in der Tat $W_1$. Nun die Einschränkung$a\circ b$ von $T$ zu $W_0$ ist konjugiert mit der Restriktion $b\circ a$ von $T'$ zu$~W_1$, schon seit $ab=a(ba)a^{-1}$. Da alle (verallgemeinerten) Eigenräume für Nicht-Null-Eigenwerte von$AB$ jeweils von $BA$ sind enthalten in $W_0$ beziehungsweise $W_1$erhält man das gewünschte Ergebnis.
Das ist wahr. Lassen$x_1,x_2,\ldots,x_k$ sei eine Basis des Eigenraums von $AB$ entsprechend einem Eigenwert ungleich Null $\lambda$. Dann$Bx_1,Bx_2,\ldots,Bx_k$ sind linear unabhängig, denn wenn $\sum_ic_iBx_i=0$, dann $\lambda\sum_ic_ix_i=A(\sum_ic_iBx_i)=0$ und daher alle $c_i$s sind Null. Allerdings da$BA(Bx_i)=B(ABx_i)=\lambda Bx_i$, jeder $Bx_i$ ist ein Eigenvektor von $AB$ entsprechend dem Eigenwert $\lambda$. Daher ist die geometrische Vielzahl von$\lambda$ im $BA$ ist größer oder gleich der geometrischen Vielzahl von $\lambda$ im $AB$. Die umgekehrte Ungleichung gilt auch, wenn wir die Rollen von vertauschen$A$ und $B$in obigem. Daher sind die geometrischen Multiplizitäten von$\lambda$ im $AB$ und $BA$ sind gleich.
Hinweis:
Wenn $\lambda \ne 0$ ist ein Eigenwert von $AB$ und $BA$Überprüfen Sie, ob die linearen Karten $$\ker(AB-\lambda I) \to \ker (BA - \lambda I), \quad x \mapsto Bx$$ $$\ker(BA-\lambda I) \to \ker (AB - \lambda I), \quad x \mapsto Ax$$sind injektiv. Es folgt$\dim \ker (AB - \lambda I) = \dim \ker (BA - \lambda I)$.