Gibt es eine Datenbank über die besonderen Werte von $j$-invariante?
Gibt es eine Datenbank, die alle bekannten besonderen Werte der enthält $j$-invariante?
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Was meinst du mit "bekannt"? Für jeden$\tau\in\mathbb C$ mit $\text{Im}(\tau)>0$kann man berechnen $j(\tau)$so genau, wie es der Computer erlaubt, aber vermutlich meinen Sie das nicht. Im Allgemeinen, wenn$\tau$ ist algebraisch und $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, dann $j(\tau)$ ist transzendent $\mathbb Q$Sie müssen also erklären, was es bedeutet, den Wert zu "kennen". Wann$\tau$ ist quadratisch vorbei $\mathbb Q$hat die zugehörige ellitpische Kurve CM und $j(\tau)$ erzeugt das Hilbert-Klassenfeld von $\mathbb Q(\tau)$. In diesem Fall kann man grundsätzlich das Feld bestimmen und dann schreiben$j(\tau)$in Bezug auf eine Basis für dieses Feld. Meinst Du das? Wenn ja, bin ich mir sicher, dass im Laufe der Jahre viele Beispiele ausgearbeitet wurden, aber ich bin mir nicht ohne weiteres eines Ortes bewusst, an dem sie zusammengestellt wurden. Obwohl sie vermutlich für alle imaginären quadratischen Felder mit kleiner Klassenzahl erstellt wurden. Es gibt eine Beispielberechnung für$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$in meinem Buch Fortgeschrittene Themen in der Arithmetik elliptischer Kurven (Beispiel II.6.2.2), in dem dies gezeigt wird$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (Das Feld $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ hat Klasse Nummer 2 und sein Hilbert-Klassenfeld ist $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)
Jede (endliche) Datenbank, die explizite Ausdrücke für j-Invarianten elliptischer Kurven mit CM enthält, kann durch Hinzufügen von j-Invarianten isogener elliptischer Kurven erweitert werden. Gegeben eine elliptische Kurve$E$ in seiner Weierstrassform und einer endlichen Untergruppe $F$davon liefert ein klassisches Papier von Velu explizite Gleichungen für$E':=E/F$ und die Isogenese $E\rightarrow E'$. Nehmen wir nun an, wir arbeiten gerade daran$\Bbb{C}$ und das wissen wir $E$ ist isomorph zu $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$daher die Kenntnis des besonderen Wertes $j(\tau)$. Das$j$-invariante von $E'$, die explizit unter Verwendung ihrer Gleichung berechnet werden kann, ergibt dann einen weiteren speziellen Wert $j(\tau')$ des modularen $j$-Funktion wo $\tau'$ ist eine Periode von $E'$. Alternativ kann man von der Zielkurve ausgehen und nach oben gehen, um die zu erhalten$j$-Invariante einer elliptischen Kurve darüber. Nehmen Sie dazu eine Legendre-Form an$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ für eine elliptische CM-Kurve $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ wird gestellt ($\lambda$ist eine algebraische Zahl). Mit anderen Worten, nehmen wir an, wir haben$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$in unserer Datenbank. Betrachten Sie die Isogenese$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. Durch die Analyse möglicher Legendre-Formen für$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$kann man zeigen $j$-invariante $j(2\tau)$ gehört $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ Es gibt also drei Kandidaten für $j(2\tau)$jeweils in Form einer expliziten algebraischen Zahl. Annäherung$j(2\tau)$ numerisch über die $q$-Erweiterung, man kann den richtigen Ausdruck für auswählen $j(2\tau)$unter ihnen und fügen Sie es der Datenbank hinzu. Die Details dieses Ansatzes für die Berechnung$j(2\tau)$ bezüglich $j(\tau)$finden Sie in diesem Artikel . Eine analoge Methode existiert für$j(3\tau)$. Beginnen wir also zum Beispiel mit$j(i)=1728$für zwei beliebige positive ganze Zahlen $m$ und $n$, ein genauer Ausdruck für $j\left(2^m3^ni\right)$erhalten werden kann. Beispielsweise$j(2i)=66^3$ und $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.