Gibt es eine geschlossene Form für $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}H_n}{n^3{2n\choose n}}?$
ich fand
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}H_n}{n^3{2n\choose n}}=-8\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ln(\cos x)\ dx=I\tag1.$$
Mathematica konnte nicht finden$I$Ich bin mir also nicht sicher, ob es dafür eine geschlossene Form gibt. Ich versuche es hier nur.
Die erste Idee, die mir in den Sinn kam, war die Verwendung der Fourier-Reihe von $-\ln(\cos x)=\ln(2)+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\cos(2nx)}{n}$ und wir haben
$$I=8\ln(2)\underbrace{\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ dx}_{\frac32\ln(2)\zeta(2)-\frac78\zeta(3)}+8\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\int_0^{\pi/2}x^2 \cot x\cos(2nx)\ dx.$$
Ich bin hier festgefahren. Jede Hilfe wäre sehr dankbar.
Beweis für $(1)$
von hier haben wir
$$\arcsin^2(x)=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2{2n\choose n}}$$
ersetzen $x$ durch $\sqrt{x}$ wir bekommen $$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}x^n}{n^2{2n\choose n}}=2\arcsin^2(\sqrt{x})$$
Multiplizieren Sie beide Seiten mit $-\frac{\ln(1-x)}{x}$ dann $\int_0^1$ und verwenden $-\int_0^1 x^{n-1}\ln(1-x)dx=\frac{H_n}{n}$ wir bekommen
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}H_n}{n^3{2n\choose n}}=2\int_0^1\frac{\arcsin^2(\sqrt{x})\ln(1-x)}{x}dx\overset{\sqrt{x}=\sin\theta}{=}-8\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ln(\cos x)\ dx$$
Antworten
$$S=-8 \text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi ^4}{90}-\frac{1}{3} \log ^4(2)+\frac{4}{3} \pi ^2 \log ^2(2)$$ Beweis $1$. Es gibt einen Beitrag über MSE, der sich auf genau dasselbe Integral konzentriert.
Beweis $2$. Es gibt einen Artikel über zahlreiche Probleme, der genau die gleiche Summe abdeckt .
Beweis $3$. Es gibt einen weiteren Artikel , der all diese Serien mit nur einem Schlag zerquetscht .
Kleiner Bonus: $$\small \int_0^{\frac{\pi }{2}} x^3 \cot (x) \log (\cos (x)) \, dx=\frac{3}{2} \pi \text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{9}{16} \pi \zeta (3) \log (2)-\frac{\pi ^5}{120}+\frac{1}{16} \pi \log ^4(2)-\frac{1}{8} \pi ^3 \log ^2(2)$$
QED
Vielen Dank an @ user97357329 für seinen Hinweis in den Kommentaren.
In dem Buch Fast unmögliche Integrale, Summen und Reihen , Seite$247$ Gl $(3.288)$ wir haben
$$\cot x\ln(\cos x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\psi\left(\frac{n+1}{2}\right)-\psi\left(\frac{n}{2}\right)-\frac1n\right)\sin(2nx)$$
$$=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\int_0^1\frac{1-t}{1+t}t^{n-1}dt\right)\sin(2nx),\quad 0<x<\frac{\pi}{2}$$
So,
$$\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ln(\cos x)dx=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\int_0^1\frac{1-t}{1+t}t^{n-1}dt\right)\left(\int_0^{\pi/2}x^2\sin(2nx)dx\right)$$
$$=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\int_0^1\frac{1-t}{1+t}t^{n-1}dt\right)\left(\frac{\cos(n\pi)}{4n^3}-\frac{3\zeta(2)\cos(n\pi)}{4n}-\frac{1}{4n^3}\right)$$
$$=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\int_0^1\frac{1-t}{1+t}t^{n-1}dt\right)\left(\frac{(-1)^n}{4n^3}-\frac{3\zeta(2)(-1)^n}{4n}-\frac{1}{4n^3}\right)$$
$$=\frac14\int_0^1\frac{1-t}{t(1+t)}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n^3}-\frac{3\zeta(2)t^n}{n}-\frac{(-t)^n}{n^3}\right)dt$$
$$=\frac14\int_0^1\left(\frac1t-\frac2{1+t}\right)\left(\text{Li}_3(t)+3\zeta(2)\ln(1-t)-\text{Li}_3(-t)\right)dt$$
$$=\frac14\underbrace{\int_0^1\frac{\text{Li}_3(t)-\text{Li}_3(-t)}{t}dt}_{\mathcal{I}_1}-\frac12\underbrace{\int_0^1\frac{\text{Li}_3(t)-\text{Li}_3(-t)}{1+t}dt}_{\mathcal{I}_2}$$ $$+\frac34\zeta(2)\underbrace{\int_0^1\frac{\ln(1-t)}{t}dt}_{\mathcal{I}_3}-\frac32\zeta(2)\underbrace{\int_0^1\frac{\ln(1-t)}{1+t}dt}_{\mathcal{I}_4}$$
$$\mathcal{I}_1=\text{Li}_4(1)-\text{Li}_4(-1)=\zeta(4)+\frac78\zeta(4)=\boxed{\frac{15}{8}\zeta(4)}$$
Durch Teilintegration haben wir
$$\mathcal{I}_2=\frac74\ln(2)\zeta(3)-\int_0^1\frac{\ln(1+t)\text{Li}_2(t)}{t}dt+\int_0^1\frac{\ln(1+t)\text{Li}_2(-t)}{t}dt$$
$$=\frac74\ln(2)\zeta(3)+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\int_0^1 t^{n-1}\text{Li}_2(t)dt-\frac12\text{Li}_2^2(-t)|_0^1$$
$$=\frac74\ln(2)\zeta(3)+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n} \left(\frac{\zeta(2)}{n}-\frac{H_n}{n^2}\right)-\frac5{16}\zeta(4)$$ $$=\frac74\ln(2)\zeta(3)-\frac54\zeta(4)-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_n}{n^3}-\frac5{16}\zeta(4)$$ Ersatz
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_n}{n^3}=2\operatorname{Li_4}\left(\frac12\right)-\frac{11}4\zeta(4)+\frac74\ln2\zeta(3)-\frac12\ln^22\zeta(2)+\frac{1}{12}\ln^42$$
wir bekommen
$$\mathcal{I}_2=\boxed{-2\operatorname{Li_4}\left(\frac12\right)-\frac{25}{16}\zeta(4)+\frac12\ln^22\zeta(2)-\frac{1}{12}\ln^42}$$
$$\mathcal{I}_3=-\text{Li}_2(1)=\boxed{-\zeta(2)}$$
$$\mathcal{I}_4=\int_0^1\frac{\ln(1-t)}{1+t}dt=\int_0^1\frac{\ln x}{2-x}dx=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}\int_0^1 x^{n-1}\ln xdx$$ $$=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^22^n}=-\text{Li}_2\left(\frac12\right)=\boxed{\frac12\ln^22-\frac12\zeta(2)}$$
Kombinieren Sie alle Ergebnisse, die wir endlich erhalten
$$\int_0^{\pi/2}x^2\cot x\ln(\cos x)dx=\text{Li}_4\left(\frac12\right)-\frac18\zeta(4)-\ln^2(2)\zeta(2)+\frac{1}{24}\ln^4(2)$$
was uns gibt
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}H_n}{n^3{2n\choose n}}=-8\text{Li}_4\left(\frac12\right)+\zeta(4)+8\ln^2(2)\zeta(2)-\frac{1}{3}\ln^4(2)$$
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,}
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\ begin {align} & \ bbox [5px, # ffd] {\ int_ {0} ^ {\ pi / 2} x ^ {2} \ cot \ pars {x} \ cos \ pars {2nx} \, \ dd x} \\ [5mm] & = \ left. \ Re \ int_ {x \ = \ 0} ^ {x \ = \ \ pi / 2} \ bracks {- \ ic \ ln \ pars {z}} ^ {\, 2} \, \ pars {{z ^ {2} + 1 \ über z ^ {2} - 1} \, \ ic} z ^ {2n} \, {\ dd z \ über \ ic z} \, \ right \ vert _ {\ z \ = \ \ exp \ pars {\ ic x}} \\ [5mm] = & \ \ left. - \, \ Re \ int_ {x \ = \ 0} ^ {x \ = \ \ pi / 2} z ^ {2n - 1} \ ln ^ {2} \ pars {z} \, {z ^ {2 } + 1 \ over z ^ {2} - 1} \, \ dd z \, \ right \ vert _ {\ z \ = \ \ exp \ pars {\ ic x}} \\ [5mm] = & \ \ Re \ int_ {1} ^ {0} \ pars {-1} ^ {n + 1} \, \ ic \, y ^ {2n - 1} \ bracks {\ ln \ pars {y} + {\ pi \ over 2} \, \ ic} ^ {\, 2} \, {-y ^ {2} + 1 \ über -y ^ {2} - 1} \, \ ic \, \ dd y \\ [2mm] & \ + \ int_ {0} ^ {1} x ^ {2n - 1} \ ln ^ {2} \ pars {x} \, {x ^ {2} + 1 \ über x ^ {2} - 1} \ , \ dd x \\ [5mm] = & \ \ pars {-1} ^ {n} \ int_ {0} ^ {1} y ^ {2n - 1} \ bracks {\ ln ^ {2} \ pars { y} - {\ pi ^ {2} \ über 4}} {1 - y ^ {2} \ über 1 + y ^ {2}} \, \ dd y \\ [2 mm] & \ - \ int_ {0 } ^ {1} x ^ {2n - 1} \ ln ^ {2} \ pars {x} \, {1 + x ^ {2} \ über 1 - x ^ {2}} \, \ dd x \\ [5mm] & = \ pars {-1} ^ {n} \, \ mathcal {I} '' \ pars {2n - 1} - \ pars {-1} ^ {n} \, {\ pi ^ {2 } \ over 4} \, \ mathcal {I} \ pars {2n - 1} - \ mathcal {J} '' \ pars {2n - 1} \\ & \ \ mbox {where} \ quad \ left \ {\ begin {array} {rcl} \ ds {\ mathcal {I} \ pars {\ nu}} & \ ds {\ equiv} & \ ds {\ int_ {0} ^ {1} y ^ {\ nu} \, {1 - y ^ {2} \ über 1 + y ^ {2}} \, \ dd y} \\ [2 mm] \ ds {\ mathcal {J} \ pars {\ nu}} & \ ds {\ equiv } & \ ds {\ int_ {0} ^ {1} \ pars {y ^ {\ nu} - 1} \, {1 + y ^ {2} \ over 1 - y ^ {2}} \, \ dd y} \ end {array} \ right. \ end {align}
Lassen Sie uns einige Integrale bewerten, die wir zur Bewertung unseres Hauptergebnisses benötigen:
$\ds{\Large\mathcal{I}\pars{\nu}:\ ?.}$
\ begin {align} \ mathcal {I} \ pars {\ nu} & \ equiv \ int_ {0} ^ {1} y ^ {\ nu} \, {1 - y ^ {2} \ über 1 + y ^ {2}} \, \ dd y = \ int_ {0} ^ {1} {y ^ {\ nu} - 2y ^ {\ nu + 2} + y ^ {\ nu + 4} \ über 1 - y ^ {4}} \, \ dd y \\ [5mm] & = {1 \ über 4} \ int_ {0} ^ {1} {y ^ {\ nu / 4 - 3/4} - 2y ^ {\ nu / 4 - 1/4} + y ^ {\ nu / 4 + 1/4} \ über 1 - y} \, \ dd y \\ [5 mm] & = {1 \ über 4} \ Klammern {% 2 \ int_ {0} ^ {1} {1 - y ^ {\ nu / 4 - 1/4} \ über 1 - y} \, \ dd y - \ int_ {0} ^ {1} {1 - y ^ { \ nu / 4 - 3/4} \ über 1 - y} \, \ dd y - \ int_ {0} ^ {1} {1 - y ^ {\ nu / 4 + 1/4} \ über 1 - y } \, \ dd y} \\ [5 mm] & = {1 \ über 4} \ Klammern {% 2 \ Psi \ pars {{\ nu \ über 4} + {3 \ über 4}} - \ Psi \ pars {{\ nu \ over 4} + {1 \ over 4}} - \ Psi \ pars {{\ nu \ over 4} + {5 \ over 4}}} \\ [5 mm] & = - \, {1 \ over \ nu + 1} - {1 \ over 2} \, \ Psi \ pars {\ nu + 1 \ over 4} + {1 \ over 2} \, \ Psi \ pars {\ nu + 3 \ over 4 } \\ [1cm] & \ \ left \ {\ begin {array} {rcl} \ ds {\ mathcal {I} \ pars {2n - 1}} & \ ds {=} & \ ds {- \, { 1 \ über 2n} - {1 \ über 2} \, \ Psi \ pars {n \ über 2} + {1 \ über 2} \, \ Psi \ pars {n + 1 \ über 2}} \\ [2 mm ] \ ds {\ mathcal {I} '' \ pars {2n - 1}} & \ ds {=} & \ ds {- \, {1 \ over 4 n ^ {3}} - {1 \ über 32} \, \ Psi \, '' \ pars {n \ über 2} + {1 \ über 32} \, \ Psi \, '' \ pars {n + 1 \ over 2}} \ end {array} \ right. \ end {align}
$\ds{\Large\mathcal{J}\pars{\nu}:\ ?.}$ \ begin {align} \ mathcal {J} \ pars {\ nu} & \ equiv \ int_ {0} ^ {1} \ pars {y ^ {\ nu} - 1} \, {1 + y ^ {2} \ über 1 - y ^ {2}} \, \ dd y = {1 \ über 2} \ int_ {0} ^ {1} {- y ^ {- 1/2} - y ^ {1/2} + y ^ {\ nu / 2 - 1/2} + y ^ {\ nu / 2 + 1/2} \ über 1 - y} \, \ dd y \\ [5 mm] & = {1 \ über 2} \ Klammern {\ Psi \ pars {1 \ über 2} + \ Psi \ pars {3 \ über 2} - \ Psi \ pars {{\ nu \ über 2} + {1 \ über 2}} - \ Psi \ pars { {\ nu \ over 2} + {3 \ over 2}}} \\ [5 mm] & = 1 - \ gamma - 2 \ ln \ pars {2} - {1 \ over 2} \, \ Psi \ pars { \ nu + 1 \ über 2} - {1 \ über 2} \, \ Psi \ pars {\ nu + 3 \ über 2} \\ [1 cm] \ mathcal {J} \, '' \ pars {2n - 1 } & = - \, {1 \ über 8} \, \ Psi \, '' \ pars {n} - \, {1 \ über 8} \, \ Psi \, '' \ pars {n + 1} = - \, {1 \ über 4} \, \ Psi \, '' \ pars {n} - {1 \ über 4n ^ {3}} \ end {align}