Gibt es eine Standardmethode, um eine Sigma-Algebra mit einer Sigma-Algebra auszustatten?

Question

Annehmen $(X, \mathcal X)$ist ein messbarer Raum. Ich möchte etwas über messbare Funktionen sagen, die Werte aufnehmen$\mathcal X$, aber dazu brauche ich $\mathcal X$ mit einer Sigma-Algebra ausgestattet sein.

Gibt es eine kanonische Art der Ausrüstung? $\mathcal X$ mit einer Sigma-Algebra $\mathcal F_\mathcal X$ damit wir über messbare Funktionen sprechen können $(X, \mathcal X)$ zu $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Einige Ideen, die mir einfielen:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Aber ich sehe nicht, dass dies unter Ergänzungen geschlossen ist.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Aber ich sehe nicht, dass dies unter zählbaren Gewerkschaften geschlossen ist.

Answer 1

Soweit ich weiß, gibt es keinen Standardansatz, um eine solche messbare Struktur aufzubauen.

Wir brauchten so etwas für einige Arbeiten, die Markov-Entscheidungsprozesse (aus Sicht der Informatik) mit „Nicht-Determinismus“ verallgemeinern. Sie können die Referenz am arXiv ( DOI ) überprüfen .

Die Definition, die die Arbeit für uns dort erledigt hat, war, eine Teilmenge von zu deklarieren $\mathcal{X}$ messbar wenn es in der ist $\sigma$-Algebra $H(\mathcal{X})$ von den Sets generiert $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, wo $\xi$ reicht über $\mathcal{X}$. Dies ist hauptsächlich durch die Konstruktion des messbaren Hyperraums geschlossener Teilmengen eines topologischen Raums motiviert.

Eigentlich auf eine richtige Teilmenge von beschränken $\mathcal{X}$ erscheint sinnvoller, da sich daraus ergibt $\sigma$-algebra ist riesig: Wenn ich mich richtig erinnere, einmal $X$ ist unendlich und $\mathcal{X}$ trennt dann Punkte $H(\mathcal{X})$ kann nicht zählbar generiert werden.