Gibt es einen geschlossenen Ausdruck für $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?

Question

Ich würde gerne fragen, ob für $|x|<1$können wir das Produkt ausdrücken $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ als eine Funktion $f(x)$. Ich habe versucht, den Weierstrass-Faktorisierungssatz zu verwenden, aber ohne großen Erfolg.

Ich würde mich sehr über eine Referenz oder eine Lösung freuen.

Answer 1

Wie bereits in Kommentaren bemerkt, kann der Ausdruck aus den unendlichen Produkten für erhalten werden $\Gamma$(entweder Eulers oder Weierstrasss ):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ und die "algebraische" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$geben $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Dies gilt leicht für allgemeinere "rationale unendliche Produkte", wie hier beschrieben .

Answer 2

Kommentar:

Die Grenze dieses Produkts kann unter Verwendung der Weierstrassn-Ungleichung gefunden werden:

Wenn $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ sind echte positive ganze Zahlen weniger als Einheit und:

$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$

dann:

$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$

Wo wir lassen können:

$a_n=\frac x {n^3}$