Gibt es einen Grund, warum diese Technik ungültig ist?
Was ist $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? Eine einfache Möglichkeit, diese Grenze zu bewerten, besteht darin, sie zu ersetzen$0$ zum $x$ im Zähler zu erhalten
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $
schon seit $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ da eine von derselben Menge subtrahierte Größe 0 ist. Diese Technik umgeht das Problem der Division durch Null, während die Tatsache ausgenutzt wird, dass $\cos(0)$ ist bekannt.
Antworten
Nein, das können Sie nicht behaupten $x=0$ im Zähler während $x\ne0$ am Nenner!
Mit Ihrer Methode können Sie dieses Limit auf einfache Weise durch Ersetzen bewerten $0$ zum $x$ im Nenner zu erhalten $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ da der Zähler ungleich Null ist.
Ein Gegenbeispiel :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ Tatsächlich $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, so $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$
@ChristinaDaniel OK, hier ist ein Gegenbeispiel: Betrachten Sie den Ausdruck $\frac{\sin 2x}{x}$ und lass $x$ auf Null gehen: Die Antwort auf diese Grenze lautet $2$. Betrachten Sie nun den Ausdruck$\frac{\sin 2x-0}{x}$ zum $x$auf Null gehen. Die Antwort auf diese Grenze ist immer noch$2$. Aber$\sin0=0$ so können wir nun den Ausdruck betrachten $\frac{\sin 2x-x}{x}$wieder mit $x$auf Null gehen. Aber jetzt ist diese Grenze$1$. Wenn Sie also eine "teilweise" Substitution durchführen, ändert sich die Antwort. Mit anderen Worten, wenn Sie ersetzen$x$, das musst du für jeden tun $x$ im Ausdruck.
Lassen $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. Wir möchten finden$\lim_{x\to e}f(x)$.
Die Verwendung der vorgeschlagenen Methode würde die falsche Antwort zurückgeben.

Es ist ungültig.
Sie können eine Variable in einem Teil eines Ausdrucks nicht durch eine Konstante ersetzen, sondern in einem anderen Teil als Variable belassen.
Wenn Sie einen Grenzwert durch Ersetzen einer Variablen durch eine Konstante schätzen möchten, müssen Sie ihn überall ersetzen. Wenn du das tust, ge$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ und das hilft uns überhaupt nicht.
Wir müssen annehmen $x \ne 0$ und wenn wir es ersetzen, müssen wir es durch ersetzen $x = h\ne 0$ und wir bekommen $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$und wir können nicht ersetzen$h$ mit $0$ oben und nicht unten, weil $h$ ISN "T. $0$. Und was auch immer die$x$ im Zähler ist die $x$ im Nenner muss das gleiche sein.
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Der Grund für den Fehler ist, dass ein wenig Fudging in der Spitze $x\approx 0$ meint $\cos x \approx \cos 0$wird nicht viel beeinflussen. Das ist aber falsch Das Fudging im Boden macht einen großen Unterschied.$\frac 1x \not \approx \frac 10$. Das ist ein Nein-Nein.
Vollständiges Nein-Nein.
Und völlig ungültig.