Gibt es immer eine Funktion? $ f $ für welche $ Y - f ( X ) $ und $ X $ sind unabhängig?
Lassen $ X $ und $ Y $ echte Zufallsvariablen sein.
Gibt es immer eine Funktion? $ f $ für welche $ Y - f ( X ) $ und $ X $ sind unabhängig?
Ich habe versucht, die Aussage zu beweisen, aber ich konnte es nicht tun.
Wenn die Aussage falsch ist, müssen Zufallsvariablen vorhanden sein $ X $ und $ Y $ so dass für jede Funktion $ f $, $ Y - f ( X ) $ und $ X $sind nicht unabhängig.
Aber ich konnte auch kein solches Paar von Zufallsvariablen finden $ X $ und $ Y $.
Ich würde mich über Ratschläge oder Hinweise freuen!
Antworten
Nein, aber es gibt eine $f(X)$ so dass sie nicht korreliert sind.
Zwei Variablen $X$ und $Y$ sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y|X$ hängt nicht davon ab $X$. Erwägen$Y|X \sim N(0, X^{2})$, dann $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ was noch davon abhängt $X$ für jede Funktion $f$.
Wenn wir definieren $E[f(X)]$ damit $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, dann $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Zum Beispiel lassen$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ linear sein.
Lassen $\Omega = \{a,b,c\}$ sei ein Wahrscheinlichkeitsraum mit drei Ergebnissen, von denen jedes eine Wahrscheinlichkeit hat $1/3$. Lassen$X = 1_{\{a\}}$ und $Y = 1_{\{b\}}$. Sie können das überprüfen, wenn$A,B$Sind unabhängige Ereignisse in diesem Raum, muss eines von ihnen die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 haben. als Ergebnis jede Zufallsvariable unabhängig von$X$muss konstant sein. Aber$Y-f(X)$ kann niemals konstant sein, da es notwendigerweise unterschiedliche Werte bei annehmen wird $b$ und $c$.