Gibt es mehr als einen pseudokatalanischen Feststoff?
Diese Frage wurde vor einem Jahr bei MSE gestellt. Die Motivation für diese Frage finden Sie in anderen MSE-Fragen hier , hier oder hier .
Konvexe Feststoffe können alle möglichen Symmetrien aufweisen:
Die platonischen Körper sind Scheitelpunkte und flächentransitiv, was bedeutet, dass es eine Untergruppe der Rotationen des dreidimensionalen Raums gibt, die jeden Scheitelpunkt auf einen anderen bringen können (und dasselbe gilt für Gesichter). Die Liste dort ist auf die 5 platonischen Feststoffe beschränkt.
Zu den flächstransitiven (oder isohedralen) Festkörpern gehören die katalanischen Festkörper, die (unendliche Familie) der Dipyramiden und die (unendliche Familie) der Trapezoeder. Beachten Sie, dass diese Feststoffe ohne weitere Einschränkungen in unendliche Familien kommen können: Das rhombische Dodekaeder hat eine unendliche Anzahl von deltoiden Cousins (siehe deltoidales Dodekaeder ); es passt auch in eine Ein-Parameter-Familie von Dodekaedern namens Pyritohedra ; das Dodekaeder und das Triakis-Tetraeder passen in die Ein-Parameter-Familie namens Tetartoid ; Dipyramiden und Trapezoeder lassen neben der Anzahl der Flächen auch alle möglichen Verformungen zu.
Es gibt eine viel schwächere Symmetrie, die man sich wünschen kann. Nennen wir es pseudokatalanisch (mangels eines besseren Namens). Fixiere ein "Zentrum"$C$. Der konvexe Körper ist pseudokatalanisch, wenn jedes Gesicht durch Drehen mit der Mitte zu einem anderen Gesicht gesendet werden kann$C$ oder eine Reflexion (deren Ebene durchgeht $C$). Beachten Sie, dass diese Drehung (+ Reflexion) nicht erforderlich ist, um den gesamten Festkörper zu erhalten. Ein Beispiel für einen solchen Feststoff, der kein katalanischer Feststoff ist, ist das gyratdeltoidale Ikositetraeder .
Frage: Gibt es eine Liste von Festkörpern, die pseudokatalanisch, aber nicht katalanisch sind? [Verzweifelter: Gibt es einen solchen Feststoff neben dem deltoiden Gyrat-Ikositetraeder?]
- Beachten Sie, dass es eine letzte Kategorie geben würde, in der der Körper konvex ist und alle Flächen kongruent sind (ein konvexer monohedraler Körper). Der Unterschied zur vorherigen Kategorie besteht darin, dass Übersetzungen jetzt zulässig sind. Um insbesondere zu überprüfen, ob ein Volumenkörper zur vorherigen Kategorie gehört, wählen Sie$C$(und die Tatsache, dass alle Rotationen und Reflexionen durch diesen Punkt eingeschränkt werden) ist wichtig. Beispiele für solche Feststoffe sind das triaugmentierte dreieckige Prisma und die gyroelongierte quadratische Dipyramide .
Antworten
Dies ist nur eine detaillierte Version der Kommentare.
Wie M. Winter betonte, gibt es eine Familie von Polyedern mit$4k$-Flächen, die zur Rechnung passen ($k=5$ist das Ikosaeder). Hier ist ein Bild für den Fall$k=4$ und $k=6$.
Beginnen Sie mit einem Antiprisma über a $k$-gon (sag das niedrigere $k$-gon hat Eckpunkte mit Koordinaten $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ und die oberen Eckpunkte $(e^{i \pi 2j k},h)$ wo $0 \leq j <k$ und $h$ist eine reelle Zahl; Ich benutze komplexe Zahlen für die$x$ und $y$Koordinaten). Kleben Sie jeweils eine Pyramide auf$k$-gon (die Spitze der Pyramiden ist bei $(0,0,s)$ und $(0,0,h -s)$. Das Zentrum$C$ ist bei $(0,0,\tfrac{h}{2})$.
Damit die Dreiecke kongruent sind, kann man schreiben $h$ als Funktion von $s$ (es ist $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$). Wenn$k>3$, wobei jedes Gesicht den gleichen Abstand von haben muss $C$ (dh $C$ wird das Zentrum einer Insphere sein) wird einen Wert von festlegen $s$ (es ist $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$). Der Punkt der Gesichter, der den Abstand zu minimiert$C$ sind [eher, scheinen] das Umkreiszentrum der Dreiecke zu sein (nur dies überprüft für $k=4,6$ und $7$ [Ich war zu faul, um die Algebra allgemein zu machen $k$]).
Daraus folgt, dass diese Feststoffe pseudokatalanisch sind (sie können nicht katalanisch sein [wenn $k \neq 5$] da die Eckpunkte an der Spitze der Pyramiden Grad haben $k$ während die anderen Eckpunkte Grad 5 haben. Daher gibt es keine globale Symmetrie, die ein Gesicht von den Pyramiden zum Antiprisma sendet.
Ich würde eher glauben, dass diese Feststoffe in einer größeren Familie mit Skalenendreiecken liegen. Ein ähnliches Konstrukt, das auf Trapezoedern (anstelle von Dipyramiden) basiert, würde Spaß machen (aber ich habe im Moment keine Ahnung, wie das geht).
EDIT: der Fall $k=3$ist einzigartig: Wenn Sie die Ebenen der Gesichter zwingen, die Insphere zu berühren, erhalten Sie ein Trapezoeder (dessen Gesichter Rhomben sind, dh die Dreiecke der Pyramide stimmen perfekt mit denen des Antiprismas überein). Wenn Sie den verbleibenden Parameter weiter verwenden, damit der nächstgelegene Punkt zu$C$ ist auf jeder [dreieckigen] Fläche gleich, es gibt tatsächlich den Würfel (!).
Hier ist ein weiteres (und hoffentlich einfacheres) Beispiel (obwohl definitiv keine vollständige Liste möglicher Feststoffe). Nehmen Sie eine$k$-Dipyramide (die äquatorialen Eckpunkte haben $xy$-Koordinaten welche sind $k^\text{th}$-Wurzeln der Einheit und $z=0$). Lassen Sie die Spitzen der Pyramiden sein$(0,0,\pm 1)$. Wann$k$ ist gerade (so $k \geq 4$) kann man diese Pyramide entlang der Ebene schneiden, die durch die Spitzen und Wurzeln der Einheit geht $\pm 1$. Dies schneidet die Dipyramide entlang eines Quadrats. Drehen Sie nun eines der beiden Teile um 90 ° und kleben Sie sie wieder zusammen. Die resultierenden Feststoffe (die, wie ich annehme, Gyratdipyramiden genannt werden sollten) erfüllen die erforderlichen Bedingungen.
Um zu sehen, dass dies keine katalanischen Feststoffe sind (es sei denn $k=4$Beachten Sie, dass es zwei Arten von Gesichtern gibt: diejenigen, die das Quadrat berühren, auf dem das Kleben stattgefunden hat, und die anderen.
Hier sind einige Bilder für $k=6$ und $k=8$.
