Gilt die Kettenregel für allgemeine Derivate?
Für den Vektorraum $\mathbb{R}^n$ Wir haben partielle Ableitungen, die der Kettenregel gehorchen, z.
Lassen $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, Standardbasis für annehmen $\mathbb{R}^n$ ist $x^i$ und Standardbasis für $\mathbb{R}^m$ ist $y^j$Also für die Komposition haben wir:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
Das ist die Standardkettenregel.
Betrachten Sie nun die allgemeine Fallableitung als lineare Abbildung zwischen Algebra $v:A\to B$ mit $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
In diesem Fall regiert die Kette die Zusammensetzung $v(f\circ g)$noch halten? Es scheint nicht?
(Wir wissen für Differential $dF_p:T_pM\to T_p N$ Kettenregel gilt immer noch)
Antworten
Bei glatten Verteilern ist das, was Sie als Kettenregel bezeichnen, eine Manifestation der Funktionsfähigkeit des Funktors, der einen Verteiler mit einem markierten Punkt nimmt $(M,p)$ zu seinem tangentialen Raum $T_pM$ und eine glatte Karte solcher Objekte zu machen $f:(M,p)\to (N,q)$ zum zugehörigen Differential $df_p:T_pM\to T_qN$. Functoriality sagt, dass eine Komposition gegeben$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ Es gibt eine Beziehung $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. In einer weniger abstrusen Sprache bedeutet dies nur, dass das Differential der Zusammensetzung die Zusammensetzung der Differentiale ist. Konkret ausgedrückt$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ wie oben wissen wir, dass die Differenzen jeweils sind $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ und $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ wo die Koordinaten auf dem ersten Raum sind $x^1,\ldots, x^n$ und die Koordinaten auf dem zweiten Raum sind $y^1,\ldots, y^m$ und die erste Matrix ist $m\times n$und der zweite ist $1\times m$. Die Zusammensetzung des Differentials ist die Multiplikation dieser Matrizen, wie Sie schreiben$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ wo das ist ein $1\times n$ Matrix.
Die Frage, die Sie stellen, ist anders. Sagen wir das mal$A$ und $B$ sind $k-$Algebren für ein Feld $k$. Dann ein Morphismus$v:A\to B$ welches ist $k-$linear und Leibniz (dh $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) ist eine Art Differentialoperator. Hier ist jedoch unklar, was die Kettenregel bedeuten soll. Die Kettenregel tritt auf, wenn wir einen Differentialoperator auf eine Zusammenstellung von Funktionen in unserer Verteilereinstellung anwenden. In diesem Fall,$f\circ g$ macht nicht einmal a priori Sinn.
Ich mache folgenden Vorschlag: Gegeben eine Kategorie von geometrischen Räumen $\mathscr{C}$und eine "Funktion" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, jedem Raum zuordnen $X$ eine algebraische Struktur $F(X)$das sagen wir $F$gehorcht einer Kettenregel, wenn$F$ ist functorial im Sinne von oben: gegeben $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ wir haben $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. Dies ist zwar etwas vage, zeigt aber, was wir zur Definition der Kettenregel "verwendet" haben.