Herausfinden $n$ und $d$ damit $U_d(n)$ wird gesetzt gegeben.
Dies ist ein Beitrag, der irgendwie mit diesem zusammenhängt, den ich zuvor gepostet habe . In diesem Beitrag ist das Problem so gut gelöst, dass ich in dieser aktuellen Situation nicht die gleiche Idee anwenden kann.
Annehmen $n$ ist eine positive ganze Zahl und $d$ist sein positiver Teiler. Wenn$U(n)$ sei die Sammlung aller positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich $n$ und Koprime zu $n$ und $$U_d(n)=\{x\in \mathbb{N}: x\equiv 1\pmod{d}\}$$ Wie findet man $n,d$ so dass $$U_d(n)=\{1,13,25,37\}$$ würde halten ?
Klar hier $d$ ist Teiler von gcd von $1-1,13-1,25-1,37-1$ dh $12$. Damit$d=1,2,3,4,6,12$. Wie man zeigt$d$ ist $12$nur? Im obigen Problem gab es nur zwei Werte 1 und 7. Hier erhalten wir jedoch auch einen zusammengesetzten Divisor.
Sobald wir das zeigen, wie man es findet $n$ dann?
Grundsätzlich suche ich nach einem allgemeinen Ansatz, wenn es einen gibt. Kann mir bitte jemand dabei helfen?
Nach der Arbeit
Nachdem ich Hinweise und Vorschläge erhalten habe (danke an Erik Wong und cgss), versuche ich, dieses Problem so weit wie möglich zu lösen.
Durch Eriks Antwort verstehe ich jetzt warum $d=12$nur. Deshalb$U_d(n)$ wird jetzt $U_{12}(n)$. Außerdem,$12$ muss teilen $n$ und $n>37$ und jedes Mitglied von $U_{12}(n)$ muss von der Form sein $12k+1$. jedoch$25\in U_{12}(n)$ was bedeutet $25\in U(n)$ und so $(25,n)=1$ impliziert $(5,n)=1$. So$n$ muss 5 frei sein.
Wir betrachten dann, $$n=2^{a_1}3^{a_2}.m$$ wo $a_1\geqslant 2, a_2\geqslant 1, m\in \mathbb{N}$ mit $(2.3.5, m)=1$. Dann$$U_{12}(n)\simeq U\left(\frac{n}{12}\right)=U(2^{a_1-2}3^{a_2-1}m)$$ iff $(12, \frac{n}{12})=1$. Das deutet darauf hin$a_1-2=0, a_2-1=0$ dh $a_1=2, a_2=1$ damit $n$ reduziert zu $n=2^2 3^1 m$.
Deshalb \begin{align*} &|U_{12}(n)|=|U(2^0 3^0 m)|\\ \Rightarrow &4=\varphi(m) \end{align*}
[Die tatsächlichen Antworten sind $n=48, d=12$. Das heißt, wir müssen jetzt zeigen$m=1$in der obigen Gleichung. Die Lösung von$\varphi(m)=4$ sind $m\in \{5,8,10,12\}$ Aber wie können wir hier zeigen $m=1$?]
Antworten
Ich habe eine viel längere Antwort gepostet, ohne davon auszugehen $d \mid n$, die eine ganze Reihe von Lösungen zulässt. Die Ausnutzung dieser Einschränkung gibt uns eine erhebliche Menge an Struktur, nämlich diese$U_d(n)$ ist eine Untergruppe der Gruppe von Einheiten $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$.
Schon seit $U_d(n)$ hat 4 Elemente, jedes Element hat eine Ordnungsaufteilung $4$. Daher$n$ muss beide teilen $13^4 - 1$ und $25^4 - 1$, dessen gcd 48 ist. Seit $n \ge 37$muss es genau sein $48$. Daraus schließen wir leicht$d=12$ sobald wir es wissen $n$.
Zuerst werden wir versuchen, kleinere Werte von auszuschließen $d$. Sie fallen jeweils in eine der beiden Kategorien$d \mid 4$ und $d \mid 6$ (Diese beiden Fälle entsprechen den beiden Primfaktoren von $12$).
Annehmen $d \mid 4$: dann die Tatsache, dass $U_d(n)$ enthält nicht $5$ muss da sein $n$ ist teilbar durch $5$, aber dann widerspricht dies $25 \in U_d(n)$.
Annehmen $d \mid 6$: dann die Tatsache, dass $U_d(n)$ enthält nicht $7, 19, 31$ muss da sein $n$ist durch all diese Primzahlen teilbar. Aber dann$n > 169 = 13^2$, also um zu vermeiden $U_d(n)$ enthält $169$ wir brauchen $n$ teilbar sein durch $13$widersprüchlich $13 \in U_d(n)$.
Jetzt sind wir versichert $d=12$gibt es eine Reihe gültiger Auswahlmöglichkeiten von $n$und ein gewisses Maß an Fallprüfung ist unvermeidlich. Erstens im Bereich$37 \le n < 49$, alle Werte von $n$ sollte funktionieren, außer für diejenigen, die durch ausschließende Primzahlen teilbar sind $5,13,37$.
Sobald wir die Werte von überprüfen $n \ge 49$müssen wir nur berücksichtigen $7 \mid n$. Bis zu$n < 61$Dies reicht auch aus, um das einzige auszuschließen $12k+1$ Nummer $49$ das verursacht Ärger.
Nach $n \ge 61$, wir brauchen $7 \cdot 61 \mid n$. Aber das zwingt$n \ge 169$und wie oben wissen wir, dass dies unmöglich ist, weil $13 \in U_d(n)$.
Das allgemeine Prinzip in beiden Teilen dieses Arguments (isolierend $d$ und dann $n$) ist, dass Ausschlüsse aufgrund von Nicht-Koprimalität dazu neigen, immer größere Untergrenzen für zu ergeben $n$und schließlich Kraft $[1,n]$ eine Zahl zu enthalten, die nur aus Primzahlen besteht, von denen wir etwas wissen.