Homologisch-triviale Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 2 müssen an Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1 gebunden sein
Ich bin mir der genauen Aussage nicht sicher, aber ich habe gehört, dass eine homologisch-triviale Untermannigfaltigkeit der Kodimension 2 an Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1 gebunden sein muss. Gibt es einen Beleg für diese Aussage? Danke im Voraus.
Antworten
Bei der Einstellung glatter Mannigfaltigkeiten (nach den Tags zu urteilen, ist dies der Fall, an dem Sie interessiert sind), siehe Satz 3 auf Seite 50 von
Kirby, Robion C. , Die Topologie der 4-Mannigfaltigkeiten , Vorlesungsnotizen in Mathematik, 1374. Berlin etc.: Springer-Verlag. vi, 108 S. 25,00 DM (1989). ZBL0668.57001 .
Ich bin mir bei der topologischen Kategorie nicht sicher (PL sollte genauso funktionieren). Ich erinnere mich, Mike Miller schrieb einen detaillierteren Bericht über diesen Beweis (und erwähnte ihn in einer der MSE-Fragen), ich habe nur vergessen, wo er war. Vielleicht möchten Sie Mike direkt fragen, er ist bei Columbia U.
Bearbeiten. In der Antwort ging ich davon aus, dass Sie Homologie mit ganzzahligen Koeffizienten und Ihrer Untermannigfaltigkeit der Kodimension 2 verwenden$M\subset N^n$ geschlossen, verbunden und orientiert ist, und $N$ist auch orientiert (nicht sicher, ob diese Annahme hier wesentlich ist, aber sie wird im Beweis verwendet). Dann die Grundklasse$[M]$ von $M$ wohldefiniert ist und die Bedingung, dass $[M]=0\in H_{n-2}(N)$ ist gut aufgestellt.
Hier ist der Beweis aus Kirbys Buch:

