Isomorphismus $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z}$ [Duplikat]

Question

Ich würde gerne einen Gruppenisomorphismus finden $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z} $. Durch den Grundsatz einer endlichen abelschen Gruppe und den chinesischen Restsatz wissen wir, dass diese Gruppen isomorph sind, aber ich möchte ihn durch die Konstruktion eines Isomorphismus zeigen.

Ich weiß jedoch nicht, was der erste Schritt ist. Das einzige was ich weiß ist das$f(0,0)=(0,0)$ da ein Isomorphismus ein Identitätselement einem Identitätselement zuordnet.

Dann sah ich, wie man einen Isomorphismus konstruiert? und versuchte, den Weg nachzuahmen, wie$f(x,y)=(x\mod{51},y\mod{187})$, aber es ist offensichtlich keine Vermutung.

Jetzt stecke ich hier fest. Irgendeine Hilfe?

Answer 1

Wir stellen eine Zwischengruppe vor $\mathbb Z_{17}×\mathbb Z_3×\mathbb Z_{187}$. Stellen Sie ein beliebiges Element dieser Gruppe als dar$(a,b,c)$ wobei die Indizes Reste modulo sind $17,3,187$ beziehungsweise.

Es gibt einen Isomorphismus von dieser Gruppe zur Domäne von $f$:: $(a,b,c)\mapsto(a,187b+c)$. Es gibt auch einen Isomorphismus zur Codomäne von$f$:: $(a,b,c)\mapsto(3a+b,c)$. Setzen Sie diese beiden Isomorphismen zusammen und Sie haben die erforderlichen$f$.