Ist der Grenzwert einer Folge stetiger linearer Operatoren in der Topologie mit schwachen Operatoren wieder ein stetiger linearer Operator?
Aus dem Banach-Steinhaus-Theorem wissen wir, dass wenn $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$, wo $X$ ist ein Banach und $Y$ ein normierter Raum, konvergiert in der starken Operatortopologie, dann ist sein Grenzwert in der starken Operatortopologie wieder ein beschränkter linearer Operator aus $X$ zu $Y$.
Jetzt habe ich das in einem Hilbert-Raum gelesen $H$ das folgende stärkere Ergebnis gilt: Wenn $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(H)$ in der Topologie des schwachen Operators konvergiert, dann ist sein Grenzwert in der Topologie des schwachen Operators wieder ein beschränkter linearer Operator auf $H$.
Warum ist es wichtig, dass $H$ist ein Hilbertraum? Bleibt die Behauptung im zuvor betrachteten Fall nicht wahr?$(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$, wo $X$ ist ein Banach und $Y$ ein normierter Raum?
Wenn $E$ ist ein normierter Raum, das wissen wir $B\subseteq E$ist genau dann beschränkt, wenn sie schwach beschränkt ist. Somit ist eine schwach konvergente Folge normbeschränkt.
Sollte das nicht sofort folgen, wenn $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$ schwach konvergent ist, ist sie in der starken Operatortopologie und damit in der uniformen Operatortopologie durch den Banach-Steinhaus-Satz beschränkt?
Antworten
Ich denke, was Sie sagen, ist wahr. Ich habe nie darüber nachgedacht, da ich immer davon ausgegangen bin, dass das Limit des schwachen Operators$A$ des $A_n's$ war immer dabei $A\in \mathfrak L(X,Y)$. Ich schreibe das Argument nur, um uns selbst zu überzeugen. In der Tat müssen wir nur annehmen, dass$Y$ hat eine Norm, nicht unbedingt eine vollständige.
Nehmen wir also an, dass $A_n\overset{\text{wo}}{\to}A$ in der schwachen Operatortopologie, wo $A:X\to Y$ist ein linearer Operator, der nicht unbedingt beschränkt ist. Konvergenz in der schwachen Operatortopologie wird beschrieben durch is$h(A_n x)\to h(A x)$ für jeden $x\in X$ und $h\in Y^*$. Dies impliziert, dass die Menge$\{A_n x: n\in \mathbb{N}\}$ ist schwach beschränkt in $Y$, also auch beschränkt in $Y$. Beim Banach-Steinhaus folgt daraus$\sup_{n}||A_n||=M<\infty$. Jetzt für$x\in X$ mit $||x||=1$ wir haben $$||Ax||=\max_{h\in Y^*,\, ||h||=1}|h(Ax)|$$ Also, es gibt einige $||h||=1$ im $Y^*$ so dass $||Ax||=|h(Ax)|$. Unter Verwendung der schwachen Konvergenz für$A_nx$ wir enden mit \begin{align} ||Ax||&=|h(Ax)|\\ &=\lim_{n\to \infty}|h(A_nx)|\\ &\leq \underbrace{||h||}_{=1}\liminf_{n\to \infty}||A_n||\cdot \underbrace{||x||}_{=1} \end{align} Daher, $||Ax||\leq M$ für jeden $||x||=1$ und deshalb, $||A||\leq M<\infty$.
Edit: (Reagiert auf den Kommentar)
Die Existenz solcher $A$ist kniffliger. Um eine solche Existenz sicherzustellen, benötigen wir eine weitere Annahme für$Y$, da es hier ein Gegenbeispiel gibt, wo$X=Y=c_0$. Das einzig Natürliche, was ich denken konnte, während ich versuchte, es zu beweisen, ist das$Y$muss reflexiv sein (da wir kein Banach-Raum waren, gingen wir direkt zur Reflexivität :P). In dem Fall, wo$X=Y=H$ ist ein Hilbert-Raum die Dinge waren etwas einfacher, da wir sie identifizieren können $H^*$ mit $H$ und Sie müssen sich nicht mit den zweiten Duals anlegen.
Das Argument für den Fall, dass $Y$ reflexiv ist folgendes:
Nehme an, dass $\lim_{n}\langle A_n x, h \rangle$ gibt es für jeden $x\in X$ und $h\in Y^*$. Für feste$x\in X$ Lassen $f_x:Y^*\to \mathbb{R}$ definiert von $$\langle h, f_x\rangle =\lim_{n\to \infty}\langle A_n x, h\rangle$$ Das lässt sich ganz einfach überprüfen $f_x$ist ein lineares Funktional und durch die vorherige Diskussion auch beschränkt. Bedeutung,$f_x \in Y^{**}$. Durch Reflexivität gibt es einige$y_x\in Y$ so dass $\langle h, f_x\rangle =\langle y_x, h\rangle$ für alle $h\in Y^*$. Nun lass$x\overset{A}{\longmapsto} y_x$. Jetzt ist es einfach, das zu überprüfen$A:X\to Y$ist ein linearer Operator. Durch die vorangegangene Diskussion ist es auch begrenzt.