Ist es möglich, nicht geschlossene Teilräume von Hilberts Raum zu klassifizieren?

Question

Lassen $H$ sei Hilberts Raum.

Motiviert durch meine vorherige Frage zu wild diskontinuierlichen linearen Funktionalen , die als Versuch interpretiert werden kann, dichte Hyperebenen in zu klassifizieren$H$Lassen Sie mich jetzt gleich zur Sache kommen:

Fragen .

1. Gibt es signifikante Unterschiede zwischen dichten Hyperebenen in $H$?

2. Wenn $L$ und $M$ sind zwei dichte Hyperebenen in $H$Gibt es eine einheitliche Operatorzuordnung? $L$ zu $M$?

3. Angenommen, die Antwort auf (2) ist negativ, wie viele Umlaufbahnen gibt es für die natürliche Wirkung der einheitlichen Gruppe $\mathscr U(H)$ am Set von dichten Hyperebenen?

---

Apropos allgemeine (nicht unbedingt geschlossene oder dichte) Teilräume von $H$Es gibt ein paar Dinge, die man in dieser Hinsicht sagen kann.

Beispielsweise können nicht alle derartigen Räume als der Bereich eines begrenzten Operators beschrieben werden, und insbesondere qualifiziert sich keine dichte Hyperebene. Dies liegt daran, dass der Bereich eines solchen Operators, wenn er eine endliche Ko-Dimension hat, geschlossen werden muss (dies folgt leicht aus dem Satz des geschlossenen Graphen).

Der Bereich eines kompakten Operators enthält keinen unendlich dimensionalen geschlossenen Unterraum, so dass dies eine weitere Eigenschaft ist, die zum Klassifizieren von Unterräumen verwendet werden kann.

Weitere Fragen .

1. Gibt es eine notwendige und ausreichende Bedingung, ausgedrückt in topologischen / analytischen Begriffen, die den Bereich eines begrenzten (bzw. kompakten) Operators unter allen Teilräumen von charakterisiert? $H$?

2. Wie viele einheitliche Äquivalenzklassen nicht geschlossener Teilräume von $H$gibt es? Wie viele davon können topologisch / analytisch beschrieben werden?

Answer 1

Ich glaube, ich habe eine einfache Antwort auf Frage 4 im kompakten Fall: Ein unendlich dimensionaler Unterraum $E\subseteq H$ ist der Bereich eines kompakten Operators, wenn eine orthogonale (im Gegensatz zur orthonormalen) Menge existiert $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, so dass $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ und $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Dies folgt leicht aus dem Spektralsatz für Kompaktoperatoren und der Tatsache, dass die Reichweite eines Kompaktoperators $T$ fällt mit dem Bereich von zusammen $|T|$.