Ist es möglich zu unterscheiden $\sin x$ in Gedenken an $\cos x$ von ersten Prinzipien?

Question

Ich habe heute ein Übungsproblem für einen Zulassungstest an der Universität gemacht, bei dem ich gebeten wurde, mich zu differenzieren $\sin x$ in Gedenken an $\cos x$. Die Lösung, die ich gefunden habe, verwendete die Kettenregel:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Je mehr ich jedoch über dieses Problem nachdachte, desto mehr fühlte ich mich ein wenig unwohl. Ich verstehe nicht wirklich, was es bedeutet, eine Funktion in Bezug auf eine andere Funktion zu unterscheiden, wenn dies überhaupt möglich ist. Also habe ich versucht zu differenzieren$\sin x$ in Gedenken an $\cos x$ von Anfang an, nur damit ich wusste, womit ich arbeitete:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

Die Idee dahinter war zu behandeln $\cos x$genau wie bei jeder anderen Variablen. Dies gab mir jedoch die falsche Antwort von$(\cos \circ \cos)(x)$und ich kann nicht verstehen warum. Gibt es eine intuitive Denkweise darüber, was es bedeutet, eine Funktion von einer anderen Funktion zu unterscheiden?

Answer 1

Sie möchten eine Änderung in messen $\sin{x}$ in Bezug auf eine Änderung in $\cos{x}$. Also du möchtest$\sin{x}$ als Funktion von $\cos{x}$, was nicht dasselbe ist wie $\sin(\cos{x})$. Darin liegt Ihr grundlegendes Problem.

Was Sie wollen: wenn $x \in [0, \pi]$, dann $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, und so \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} wie gewünscht.

Übung: Was passiert wann? $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

einstellen $y=\cos x$, dann für $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Was das Limit betrifft, sollten Sie schreiben $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$