Kann die Zusammensetzung eines ganzzahligen Polynoms und eines rationalen Polynoms mit einem nicht ganzzahligen Koeffizienten zu einem ganzzahligen Polynom führen?

Question

Können wir zwei Polynome finden? $p(x)$ und $q(x)$, wo $p(x)$ ist ein nicht konstantes monisches Polynom über ganze Zahlen und $q(x)$ ist ein monisches Polynom über Rationalen mit mindestens einem nicht ganzzahligen Koeffizienten, so dass ihre Zusammensetzung $p(q(x))$ist ein Polynom über ganze Zahlen? Wenn nicht, wie kann man das beweisen?

Zum Beispiel lassen $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ und $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, dann $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, also egal welche ganzen Zahlen $a_i$Wir wählen, das resultierende Polynom hat einen nicht ganzzahligen Koeffizienten. Der monische Zustand ist wichtig, da wir uns sonst vermehren könnten$p(x)$mit einer solchen ganzen Zahl, die garantiert, dass alle Koeffizienten ganze Zahlen sind. Ich habe versucht, den Zusammensetzungskoeffizienten für allgemeine Polynome zu untersuchen, von denen ich glaube, dass sie dieser Formel folgen sollten:

\ begin {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ dots + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (hier$a_i$ und $b_i$ sind die Koeffizienten von $p(x)$ und $q(x)$ mit Abschlüssen $n$ und $m$, beziehungsweise). Es ist jedoch überhaupt nicht klar, auf welchen Koeffizienten man sich konzentrieren soll, um zu beweisen, dass er die nicht ganzzahlige Zahl ergibt.

Dies entstand beim Versuch, das zu lösen https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, aber es scheint für sich genommen interessant genug.

Answer 1

In der Tat können wir die Annahme ignorieren, dass $q$ist monisch. Die Zusammensetzung$p \circ q$ kann nicht alle ganzzahligen Koeffizienten haben.

Für lassen $p$ ein Primfaktor eines vollständig vereinfachten Nenners eines Koeffizienten von sein $q$. Betrachten Sie die größte$k$ st $p^k$ ist ein Faktor eines Nenners von a $q$Koeffizient. Dann schreibe das Polynom$q$ wie $x^j w(x) / p^k + s(x)$, wo jeder vollständig vereinfachte Zähler von $w(x)$ ist nicht teilbar durch $p$ und kein vollständig vereinfachter Nenner von $s(x)$ ist teilbar durch $p^k$, und wo $w$hat einen konstanten Term ungleich Null. Gruppieren Sie dazu alle Begriffe mit durch Nenner teilbaren Nennern$p^k$erhalten $x^j w(x) / p^k$und alle Begriffe mit Nennern, die nicht durch teilbar sind $p^k$erhalten $x(x)$.

Lassen $n$ sei der Grad von $p$und betrachte den Koeffizienten von $x^{jn}$ im $p \circ q$. Einer der beitragenden Summanden wird sein$w(0)^n / p^{kn}$, was vollständig vereinfacht ist. Und keiner der anderen Summanden kann einen durch Nenner teilbaren Nenner haben$p^{kn}$. Dieser Koeffizient ist also keine ganze Zahl.