Kann diese Ungleichung mit gewichteten Maximalfunktionsschätzungen nachgewiesen werden?
Ich versuche folgende Tatsache zu verstehen:
Annehmen $\{B_i\}_i$ sind disjunkte Bälle in $\mathbb R^n$, und $A_i \subset 100 B_i$ ist eine Teilmenge mit $|A_i| \geq c |B_i|$. Dann für jeden nichtnegativen$f$, wir haben $\sum_i |B_i| \inf_{A_i} f \lesssim \int_{\cup_i A_i} f$, wobei die implizite Konstante nur von abhängt $c$ und die Dimension $n$.
(Hier, $|\cdot|$ bezeichnet das Lebesgue-Maß und $100B$ bezeichnet den Ball mit der gleichen Mitte wie $B$ und $100$ mal der Radius.)
Gibt es eine Möglichkeit, dies mit (einer Kombination von) Deckspelzen, maximalen Funktionsschätzungen oder gewichteten Ungleichungen zu beweisen? Ich konnte keinen einfachen Weg finden, dies zu beweisen.
Einige Hintergrundinformationen (die für meine Frage nicht benötigt werden): Die obige Aussage stammt aus Kapitel 13 der singulären Integrale und korrigierbaren Sätze von David und Semmes$\mathbb R^n$. (Es erscheint in der Mitte eines Beweises. Sie geben dies nicht als separates Lemma an.)
Hier ist eine Skizze des Beweises im Buch:
Lassen $p \in (1, \infty)$ und für jeden $i$, Lassen $w_i$ eine Funktion sein auf $A_i$(alle TBD). Von Holder,
\begin{align*} \inf_{A_i} f \leq \left(\frac{1}{|A_i|}\int_{A_i} f^{1/p} \right)^{p} \leq \left(\frac{1}{|A_i|}\int_{A_i} f w_i \right) \left(\frac{1}{|A_i|}\int_{A_i} w_i^{-p'/p} \right)^{p/p'} \end{align*}
damit
\begin{align} \sum_i |B_i| \inf_{A_i} f &\lesssim \sum_i \left(\int_{A_i} f w_i \right) \left(\frac{1}{|A_i|}\int_{A_i} w_i^{-p'/p} \right)^{p/p'} \\ &\leq \left(\int f \textstyle\sum_i 1_{A_i} w_i \right) \left(\sup_i\frac{1}{|A_i|}\int_{A_i} w_i^{-p'/p} \right)^{p/p'} \end{align}
Um den Beweis zu vervollständigen, müssen wir nur wählen $p$ und $w_i$ sodass ich) $\sum_i 1_{A_i} w_i \lesssim 1$ und (ii) $\sup_i\frac{1}{|A_i|}\int_{A_i} w_i^{-p'/p} \lesssim 1$. Dies kann wie folgt erreicht werden:
Lassen $p = 3$. Führen Sie eine Reihenfolge auf den Indizes ein, damit$i \prec j$ wenn $|B_i| < |B_j|$(und willkürlich die Krawatten brechen). einstellen$w_i(x)^{-1/2} = \sum_{j \preceq i} 1_{A_j}(x) = \# \{ j : x \in A_j \text{ and } j \preceq i\}$.
Beachten Sie, dass wenn $j \preceq i$ und $A_j \cap A_i \neq \emptyset$, dann $B_j \subset 300B_i$. Dies mit der Disjunktheit der$B_j$, impliziert $$\int_{A_i} w_i^{-1/2} \leq \sum_{j \preceq i, A_j \cap A_i \neq \emptyset} |A_j| \approx \sum_{j \preceq i, A_j \cap A_i \neq \emptyset} |B_j| \leq |300B_i| \approx |A_i|.$$
Dies beweist (ii). (Dies impliziert auch$w_i(x) > 0$ für fast jeden $x \in A_i$.)
Schließlich für jeden festen $x$, wenn $w_i(x) = w_j(x) \neq 0$, dann $i=j$. Schon seit$w_i$ nimmt Werte in $\{m^{-2} : m \in \mathbb N\} \cup \{0\}$haben wir die punktweise gebunden $\sum_i 1_{A_i} w_i \leq \frac{\pi^2}{6}$, was zeigt, dass (i) den Beweis hält und vervollständigt.
Ich habe keine wirklich gute Intuition für diesen Beweis, insbesondere nicht, wie ich die Wahl von motivieren soll $p$ und $w_i$(außer "weil es funktioniert"). Insbesondere bin ich verwirrt (und erstaunt) darüber, wie die Autoren es verwenden$\sum_{m=1}^\infty m^{-2} < \infty$ um die Überlappung der zu kontrollieren $\{A_i\}_i$. Deshalb würde mich interessieren, ob es einen weiteren Beweis gibt.
Antworten
Es reicht aus, das zu zeigen $$ \sum_i |B_i| 1_{\inf_{A_i} f > t} \lesssim \int_{\bigcup A_i} 1_{f>t}$$ für jeden $t>0$, da der Anspruch durch Integration in folgt $t$und unter Verwendung des Fubini-Tonelli-Theorems (dh unter Verwendung der Schichtkuchen-Zerlegung ). (Gleichwertig: Um die Behauptung zu beweisen, reicht es aus, dies im Sonderfall zu tun, wenn$f$ ist eine Indikatorfunktion.) Aber man hat $$ M (1_{\bigcup A_i} 1_{f>t})(x) \gtrsim 1$$ wann immer $x \in B_i$ und $\inf_{A_i} f>t$, so folgt die Behauptung aus der maximalen Ungleichung von Hardy-Littlewood.