Kompaktes Objekt und Kompaktgenerator in einer Kategorie

Nov 24 2020

Ich habe zwei Definitionen eines kompakten Objekts gefunden.

( Lurie, Jacob (2009), Higher Topos Theory, S.392 ) Let$\mathcal{C}$eine Kategorie sein, die gefilterte Colimits zulässt. Ein Objekt$C \in \mathcal{C}$soll kompakt sein, wenn der Kern darstellbare Funktor$$ \operatorname{Hom}_{e}(C, \bullet) $$ pendelt mit gefilterten Colimits.

( Abelsche Kategorien, Daniel Murfet, Definition 18 ) Let$\mathcal{C}$ eine Kategorie sein und $A$ ein Objekt von $\mathcal{C}$. Das sagen wir$A$ist kompakt (oder manchmal klein), wenn wir einen Morphismus haben$u: A \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}$ von $A$ In ein nicht leeres Nebenprodukt gibt es eine nicht leere endliche Teilmenge $J \subseteq I$ und eine Faktorisierung von $u$ der folgenden Form $$ A \longrightarrow \bigoplus_{j \in J} A_{j} \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}. $$

Ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass sie gleichwertig sind. Könnten Sie mir bitte helfen?

Zusätzlich haben wir die Definition des Generators einer abelschen Kategorie.

( GENERATOREN GEGEN PROJEKTIVE GENERATOREN INABELIAN CATEGORIES, CHARLES PAQUETTE, S. 1 ) Let$\mathcal{A}$eine abelsche Kategorie sein. Ein Objekt$M$ von $\mathcal{A}$ ist ein Generator von $\mathcal{A}$ wenn für irgendein Objekt $X$ von $\mathcal{A}$Wir haben einen Epimorphismus $\bigoplus_{i\in I} M\to X$ wo $I$ ist ein Indexsatz.

Was soll der Kompaktgenerator sein? Ist es ein Generator, bei dem die folgende Form faktorisiert wird?$$ \bigoplus_{i\in I} M \to \bigoplus_{i\in J} M \to X. $$ (Alle Pfeile sind umgekehrt?)

Vielen Dank!

Antworten

12 ToddTrimble Nov 24 2020 at 21:43

Sie sind nicht gleichwertig. Zum Beispiel Lurie-kompakte Objekte in einer Kategorie von$R$-Module sind die gleichen wie endlich präsentierbare Module. (Gleiches gilt für jede Kategorie von Algebren für eine Lawvere-Theorie, dh eine algebraische Theorie, deren Operationen endlich sind und universell quantifizierten Gleichungsaxiomen unterliegen.) Murfet-kompakte Objekte in einer Kategorie von$R$-Module müssen nicht einmal endlich generiert werden (obwohl sie es sein werden, wenn $R$ist Noetherian). Hier gab es eine ziemlich lange Diskussion darüber: "Summenkompakte" Objekte = fg Objekte in Kategorien von Modulen?

Verschiedene Gemeinschaften verwenden manchmal denselben Begriff unterschiedlich. Der Begriff "kompakt" ist in gewisser Weise suggestiv, aber ich denke nicht, dass er optimiert ist.

11 QiaochuYuan Nov 25 2020 at 13:56

Das Knifflige an diesem Ideenkreis ist, dass mehrere Definitionen nicht allgemein gleichwertig sind, sondern mit zusätzlichen Hypothesen gleichwertig werden. Ein grundlegendes Ergebnis bei kompakten Objekten ist beispielsweise die folgende Charakterisierung von Modulkategorien, die unter anderem eine Charakterisierung von Morita-Äquivalenzen ermöglicht.

Satz (Gabriel): Eine kokomplette abelsche Kategorie$C$ entspricht der Kategorie $\text{Mod}(R)$ von Modulen über einen Ring $R$ Wenn es einen kompakten projektiven Generator zulässt $P$ so dass $\text{End}(P) \cong R$.

Sowohl "kompakt" als auch "Generator" in der Aussage dieses Satzes sind individuell mehrdeutig. "Kompakt" kann entweder Lurie-Kompakt oder Murfet-Kompakt bedeuten, und "Generator" kann ungefähr 7 verschiedene Bedeutungen haben, von denen vielleicht 3 allgemein gebräuchlich sind (?); Eine Diskussion finden Sie in den Generatoren und Colimit-Abschlüssen von Mike Shulman (in denen 5 mögliche Definitionen behandelt werden) und in meinem Blog-Beitrag Generatoren (in denen 6 mögliche Definitionen behandelt werden, von denen sich 4 mit Mikes überschneiden).

Die erfreuliche Tatsache ist, dass die Bedeutung von "kompaktem Projektiv" und "kompaktem projektivem Generator" in der Aussage von Gabriels Theorem dennoch eindeutig ist:

  • In einer kokompletten abelschen Kategorie entspricht "kompaktes Projektiv", das entweder Lurie-Kompaktheit oder Murfet-Kompaktheit verwendet, der Bedingung, dass $\text{Hom}(P, -) : C \to \text{Ab}$pendelt mit allen (kleinen) Colimits (dieser Zustand wird auch als winzig bezeichnet ; siehe meinen Blog-Beitrag Kleine Objekte für eine Diskussion), und
  • Für kompakte projektive Objekte in einer kokompletten abelschen Kategorie kollabieren fast alle Definitionen von "Generator", die mir bekannt sind, und werden gleichwertig. Ich beschränke mich darauf, zwei zu nennen: Das Schwächste ist, dass jedes Objekt ungleich Null eine Karte ungleich Null zulässt$P$ (was ich "schwacher Generator" nenne; ich vergesse, ob dieser Name Standard ist), und das Stärkste ist, dass jedes Objekt als Coequalizer eines Kartenpaars zwischen Koprodukten von Kopien von geschrieben werden kann $P$ (was ich "Präsentationsgenerator" nenne; dies ist kein Standard. In einer abelschen Kategorie können Coequalizer durch Kokernel ersetzt werden, aber diese Definition lässt sich gut auf algebraische Kategorien wie Gruppen und Ringe verallgemeinern).

Es gibt die zusätzliche Nuance, die in einem Stall $\infty$-Kategoriale Einstellungen wie die, in denen Lurie arbeitet, scheinen die Projektivität zu verringern, aber ich bin mir nicht sicher, wie die genauen Aussagen lauten. ZB glaube ich, dass es einen Stall gibt$\infty$-Kategorisches Analogon von Gabriels Theorem, das Modulkategorien über charakterisiert $E_1$ Ringspektren und ich glaube, dass Analog kompakte Generatoren beinhaltet.

Wie auch immer, für das, was es wert ist, würde ich mich für Lurie-Kompaktheit als "Standard" -Bedeutung von Kompaktheit einsetzen. Die Murfet-Kompaktheit ist sehr spezifisch für die abelsche Umgebung, aber die Lurie-Kompaktheit ist in vielen Umgebungen gut. In der Kategorie der Modelle einer Lawvere-Theorie (Gruppen, Ringe usw.) ist ein Objekt beispielsweise Lurie-kompakt, wenn es endlich dargestellt wird. Dies impliziert bereits die nicht ganz offensichtliche Tatsache, dass für endlich präsentierte Module Morita invariant ist.

7 MikeShulman Nov 24 2020 at 22:10

Um der Antwort von Todd ein wenig Kontext hinzuzufügen, denke ich, dass der Grund für diese Verwirrung darin besteht, dass die ursprüngliche Verwendung von "kompakt" für topologische Räume auf verschiedene Arten verallgemeinert werden kann.

Erstens stimmen in einem Poset die beiden Definitionen von compact überein. Wenn$C$ ist Lurie-kompakt, dann ein Nebenprodukt $\sum_i A_i$ ist das gefilterte Colimit von Nebenprodukten endlicher Unterfamilien der $A_i$, so impliziert die Annahme, dass jede Karte aus $C$ in $\sum_i A_i$Faktoren durch ein solches endliches Nebenprodukt. (In der Tat erfordert diese Richtung nicht, dass die Kategorie ein Poset ist.) In der anderen Richtung, wenn$C$ Ist Murfet-kompakt, dann sind alle Colimits in einem Poset gleichwertig Nebenprodukte, also jede Karte aus $C$ in gefilterte Colimit-Faktoren durch ein endliches Sub-Colimit und durch Filterung, die durch ein einzelnes Objekt faktorisiert.

Zweitens ein topologischer Raum $X$ ist im traditionellen Sinne genau dann kompakt, wenn das oberste Element seines Posets $\mathcal{O}(X)$von offenen Teilmengen ist in jedem dieser kategorialen Sinne kompakt. Der Unterschied ergibt sich also aus der Verallgemeinerung dieser Bedeutung von "kompakt" auf Nicht-Posets auf unterschiedliche Weise. (Leider sind kompakte topologische Räume in der Kategorie der topologischen Räume im Allgemeinen weder Lurie-kompakt noch Murfet-kompakt!)