Konstante Folge von Teilsummen in einer divergierenden Reihe
In der harmonischen Reihe haben wir $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ für alle $n$, was Divergenz impliziert. Die Teilsummen von$n$ zu $2n$, ausgewertet bei $n$gleich $\ln(2)$ für alle $n$. Bedeutet dies nicht, dass die Folge von Teilsummen auf den Wert konvergiert hat?$\ln(2)$, was wiederum impliziert, dass die Serie konvergieren sollte? Ich habe das Gefühl, dass ich etwas Grundlegendes über das Cauchy-Kriterium und die Konvergenz usw. nicht verstehe - ist dies aufgrund der lustigen Dinge, die wir mit dem Intervall machen, überhaupt keine Folge von Teilsummen? Danke für Ihre Hilfe.
Antworten
Zunächst eine Kleinigkeit: die Teilsummen von $n$ zu $2n$ Ansatz $\ln{2}$, wird es aber eigentlich nie erreichen. (Warum?)
Zweitens, wichtiger: Sie haben tatsächlich gezeigt, dass die Folge von Teilsummen $\{ H_n\}$ist nicht Cauchy und somit nicht konvergent. In der Tat, wenn es Cauchy wäre, dann per Definition$|H_{2n} - H_n| \to 0$. Das liegt daran für jeden$\epsilon > 0$müsste es geben $N(\epsilon)$ für welche $|H_m - H_n| < \epsilon$ wann immer $m, n > N(\epsilon)$;; wir wählen dann$m = 2n$ Hier.