Konstruktiv einbetten $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ in $\mathbb{R}$

Question

Mit dem Axiom der Wahl ist es beweisbar, dass $\mathbb{R}$ ist isomorph zu $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ als Vektorraum über $\mathbb{Q}$. (Unter der Annahme von Wechselstrom haben beide Räume eine Hamel-Basis$\mathbb{Q}$ von gleicher Kardinalität und sind somit isomorph.)

Meine Frage ist also, ob ein solcher Isomorphismus zwischen $\mathbb{R}$ und $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ kann ohne Wechselstrom konstruiert werden oder zumindest, ob wir einbetten können $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ in $\mathbb{R}$ohne AC. (Mit Einbetten meine ich das Konstruieren eines Injektivs$\mathbb{Q}$-lineare Karte von einem Raum in den anderen.)

Letzteres entspricht der Frage, ob wir einen Unterraum von konstruieren können $\mathbb{R}$ das hat eine schauderbasis über $\mathbb{Q}$, als solcher sollte ein Unterraum automatisch isomorph zu sein $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$.

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Tatsächlich stimmt es mit ZF überein, dass es keine nichttrivialen Homomorphismen gibt $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$. Zitat aus einer früheren Antwort, in der dies auftauchte:

Es gibt ein von Shelah konstruiertes Modell von ZF, in dem jede Menge reeller Zahlen die Eigenschaft Baire besitzt . Dies impliziert, wenn ich richtig verstehe, dass es keine Homomorphismen ungleich Null gibt$\mathbb{R}$zu jeder zählbaren abelschen Gruppe (da jede zählbare abelsche Gruppe mit der diskreten Topologie eine polnische Gruppe ist , also in diesem Modell jeder Homomorphismus von$\mathbb{R}$zu einer solchen Gruppe ist automatisch messbar und somit automatisch kontinuierlich). Damit$\mathbb{R}$, und $SO(2)$haben in diesem Modell keine Untergruppen des zählbaren Index.

Dies schließt die Möglichkeit einer expliziten Einbettung nicht aus $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$;; Ich bin mir auf die eine oder andere Weise nicht sicher, ob so etwas existiert, aber ich würde wetten, dass es nicht so ist. Ich wette, es stimmt mit ZF überein, dass jede lineare Karte$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ Faktoren durch die Projektion auf eine endliche Teilmenge seiner Faktoren.