Konvergenz einer Reihe bei Konvergenz einer Folge zeigen

Aug 16 2020

Ich arbeite an einem Problem, das mich auffordert, Folgendes zu zeigen: Gegeben eine Folge von reellen Zahlen,$(x_n), n=0,1,2,...$so dass$x_n \rightarrow x$, zeige, dass$$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$Mein Ansatz besteht darin, zu versuchen, dies auf ähnliche Weise zu beweisen, wie wir die Formel der geometrischen Reihe beweisen (was einfach wäre, wenn$(x_n)$waren eine konstante Folge). Wenn wir uns also die Teilsummen der obigen Reihe ansehen, sehen wir Folgendes:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$Ab hier kann ich nicht ganz lassen$p\rightarrow 1^{-}$doch sonst würde sich alles aufheben. Also möchte ich die Tatsache nutzen, dass$x_n$konvergiert zu$x$, und ich vermute, dass ich die Tatsache verwenden muss, dass da$x_n \rightarrow x$, das$(x_m - x_{m-1})$Begriffe werden$0$für groß$m$. Allerdings weiß ich immer noch nicht, wie ich mit den anfänglichen Begriffen in der Summe umgehen soll, wo die$(x_m - x_{m-1})$Begriffe sind nicht zu vernachlässigen.

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2 BinyaminR Aug 16 2020 at 03:22

$\epsilon>0$:

wir wollen zeigen, dass es a gibt$\delta$wofür wenn$p\in\left(1-\delta,1\right)$dann$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. wir wissen, dass x_n gegen x konvergiert, also existiert ein N, sodass für alle n>N gilt:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. das wissen wir auch:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. Schauen wir uns den zweiten Teil an:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$

also haben wir:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$

aber für p, das nahe genug an 1 ist, geht der erste Teil auf Null und der zweite Teil geht auf x minus Epsilon. So können Sie für das richtige Delta die benötigte Untergrenze anzeigen. Die obere Schranke kann auf sehr ähnliche Weise dargestellt werden.

Ich hoffe, das ist verständlich