Konvergenz von beweisen $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$ [Duplikat]

Question

$a_1=1.$ $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$

Beweisen Sie, dass die Sequenz konvergent ist.

Ich versuche die Konvergenz dieser Sequenz zu beweisen, habe aber Probleme. Zuerst dachte ich, dass dies eine monotone Sequenz sein könnte, seitdem kann ich den Satz der monotonen Konvergenz versuchen, um seine Konvergenz zu beweisen.

Aber nachdem ich einige Begriffe überprüft hatte, stellte ich fest, dass die Sequenz oszilliert. Ich bin mir also nicht sicher, wie ich die Konvergenz dieser Sequenz beweisen soll.

Vielen Dank.

Answer 1

Diese Sequenz ist eine Cauchy-Sequenz, daher konvergiert sie.

Zuerst siehst du $a_n>0, \forall n \in \mathbb{N}$aus rekursiver Beziehung. [$a_1=1$ und $a_{n+1}$ wird definiert, um positive Begriffe hinzuzufügen]

Zweitens seitdem $a_n>0$ so $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{1+a_n} \leq 2 $

Nun überlegen Sie \begin{align} |a_{n+1} - a_n| = \left| \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+a_{n-1}} \right| = \frac{|a_n - a_{n-1}|}{(1+a_n)(1+a_{n-1})} \leq \frac{1}{4} | a_n - a_{n -1}| \end{align}und das ist eine launische Sequenz. [Serien mit diesem Formular werden als kontraktiv bezeichnet und wenden nach wiederholter Anwendung das gleiche Verfahren an$|a_2-a_1|$und durch den Squeeze-Satz können Sie leicht erraten $a_n$ ist eine Cauchy-Sequenz]

Im $\mathbb{R}$Cauchy-Sequenz impliziert Konvergenzen, so dass es konvergiert. Dann durch Grenzen setzen$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \alpha$ wir haben $\alpha^2 = 2$ und von $a_n>0$, $\alpha = \sqrt{2}$.

Answer 2

Eine Methode, die häufig bei oszillierenden Sequenzen nützlich ist: Let $b_n=|(a_n)^2-2|.$ Dann $$0\le b_{n+1}=\frac {b_n}{(1+a_n)^2}\le \frac {b_n}{4} $$ weil $1+a_n\ge 2$ durch Induktion auf $n$.

So $b_n$ sinkt auf $0$. So$(a_n)^2\to 2$ mit jedem $a_n>0.$

Die Motivation für die "$2$"in der Definition von $b_n$ ist das IF $a_n$ konvergiert an eine Grenze $L$ dann $L=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} 1+\frac {1}{1+a_n}=1+\frac {1}{1+L},$ impliziert $L^2=2.$