Kovarianz zwischen $X_i-\overline{X}$ und $\overline{X}$ [Duplikat]

Question

Lassen $n>2$ und $\sigma^2>0$.

Eine Matheprüfung wurde mit abgehalten $n$Teilnehmer. Die Punktzahl folgt der Normalverteilung mit dem Mittelwert$\mu_X$ die Varianz $\sigma^2$.

Noten der Matheprüfung sind $X_1,...,X_n$.

$$\overline{ X }=\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$$

Für jeden $i = 1,...,n$, was ist der Wert der Kovarianz zwischen $X_i-\overline{X}$ und $\overline{X}$?

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(Was ich versucht habe)

$\operatorname{Cov}[X_i-X,\overline{X}]$

$ = E[(X_i-X)\overline{X}]-E[X_i-X]E[\overline{X}]$

$=E[X_i\overline{X}] - E[\overline{X}^2] - (E[X_i]-E[\overline{X}])E[\overline{X}]$

$=E[X_i\overline{X}] - E[\overline{X}^2] - (E[X_i]-\mu)\mu$

und ich weiß nicht, wie ich mit dem Rest der Amtszeit umgehen soll $E[]$.

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Reste über einen Mittelwert haben $0$Kovarianz mit dem Mittelwert. Finden Sie ohne Verlust der Allgemeinheit$Cov(X_1-\bar X, \bar X):$ Dann $$Cov(X_1 - \bar X, \bar X) = Cov(X_1, \bar X) - Cov(\bar X,\bar X)\\ = Cov(X_1, \bar X) + Var(\bar X) = Cov(X_1,\bar X) -\sigma^2/n.$$

Jetzt $$Cov(X_1,\bar X) = Cov\left(X_1, \frac 1n\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ =Cov\left(X_1,\frac 1n X_1\right) + 0 = \frac 1n Cov(X_1,X_1)\\ = \frac 1n Var(X_1) = \sigma^2/n.$$

So, $Cov(X_1,\bar X) = \sigma^2/n - \sigma^2/n = 0.$

Relavance zur statistischen Inferenz. Dieses Ergebnis ist wichtig für die statistische Inferenz. Die Residuen $r_i = X_i - \bar X$ Beobachtungen aus ihren Gruppenmitteln werden häufig in ANOVA und Regression verwendet.

Stichprobenmittelwert und Varianz unabhängig von normalen Daten. Für normale Daten bedeutet unkorreliert unabhängig. weil$\bar X$ ist unabhängig von der $r_i,$ dann ist es unabhängig von $S.$ Also für normale Daten $\bar X$ und $S_X^2$sind stochastisch unabhängig. (Sie sind nicht 'funktional' unabhängig, weil$\bar X$ wird verwendet, um zu finden $S_X^2.)$ Dies ist wichtig für die t-Statistik, da die t-Verteilung des Schülers als Verhältnis definiert ist, bei dem Zähler und Nenner unabhängig sind.

Simulationen, die fehlende Korrelation veranschaulichen. Eine kurze Simulation in R zeigt, dass Mittelwerte nicht mit Residuen von ihnen korreliert sind. (Die Simulation verwendet 10 Millionen normale Stichproben$n=10,$ Geben Sie mehrere Dezimalstellen für die Korrelation an.)

set.seed(2020)
M = 10^7; n = 10
X = rnorm(M*n, 100, 15)
DTA = matrix(X, nrow=M)
A = rowMeans(DTA)
X1 = DTA[,1]
cor(X1-A,A)
[1] -0.0004722208  # aprx 0

Eine ähnliche Simulation mit Exponentialdaten zeigt auch mangelnde Korrelation:

set.seed(2020)
M = 10^7; n = 10
Y = rexp(M*n)
DTA = matrix(Y, nrow=M)
A = rowMeans(DTA)
Y1 = DTA[,1]
cor(Y1-A,A)
[1] 4.620507e-08

Streudiagramme von Residuen gegen Mittelwerte veranschaulichen jedoch die Unabhängigkeit für die normalen Daten, aber ein klares Abhängigkeitsmuster für die Exponentialdaten. (Wir verwenden eine reduzierte Anzahl von Datensätzen für eine überschaubare Anzahl von Punkten in den Streudiagrammen.)

m=30000
x1=X1[1:m]; a.x=A[1:m]; r.x=x1-a.x
y1=Y1[1:m]; a.y=A[1:m]; r.y=y1-a.y
par(mfrow=c(1,2))
 plot(a.x,r.x, pch=".", main="Normal Data")
 plot(a.y,r.y, pch=".", main="Exponential Data")
par(mfrow=c(1,1))