Lassen $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$differenzierbar sein. Wenn $f'(a)=f'(b)$, dann existiert a $c \in (a, b)$, so dass $f'(c) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a}$

Question

In dem Buch ( Curso de Análise, Band 1 , Elon Lages) gibt es einen Vorschlag, der sehr hilfreich ist.

Betrachten Sie das zunächst $$f'(a) =f'(b)=0$$ Betrachten Sie dann die Funktion $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, wo $g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ und $g(a) = 0$. Zeige, dass$g$ erreicht sein Maximum oder Minimum in einem Punkt $c \in (a,b)$. Betrachten Sie für den allgemeinen Fall$$g(x) = f(x) - xf'(a)$$

Ich kann sehen, warum der erste Fall: Wenn a die Ableitung von g nimmt, erhalte ich so etwas wie:

$$g'(x) = \frac{1}{x - a} \left( f'(x) - \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right)$$

Indem wir also (nach der differenzierbaren Hypothese) auf einer kompakten Menge nach Weierstrass 'Theorem kontinuierlich sind, haben wir das $g$ muss es maximal / minimal haben $c \in [a,b]$. Als kritischer Punkt müssen wir haben$g'(c) = 0$und unter der Annahme $c \neq a$Wir haben unsere erste Schlussfolgerung.

Aber (1) ich kann nicht verstehen, warum es ein innerer Punkt sein muss (im Ernst, ich bin seit 4 Tagen mit dieser Frage beschäftigt), und (2) der zweite Vorschlag ist für mich nicht so klar.

Alle anderen Ideen für Lösungen werden mir sehr helfen.

Answer 1

Der erste Teil umfasst mehrere Schritte und hier einige Hinweise:

Wenn $g$ hat kein lokales Minimum oder ein lokales Maximum in $(a,b)$ dann $g$ist notwendigerweise streng monoton. Dies impliziert das$f$ ist konkav oder konvex (je nachdem ob $g$nimmt zu oder ab). Daher$f'$ist monoton. Die Tatsache, dass$f'(a)=f'(b)=0$ zeigt, dass $f'\equiv 0$ und $f$ist eine Konstante. Also keine$c \in (a,b)$ ist gut genug.

Der zweite Teil ist unkompliziert. Wenden Sie einfach den ersten Teil an$g(x)=f(x)-xf'(a)$. Schon seit$g'(a)=g'(b)=0$Das ist möglich). Vereinfachen Sie die Gleichung$g'(c)=\frac {g(c)-g(a)} {c-a}$ um den Beweis zu beenden.