Lassen $P$ sei ein $30$-seitiges Polygon in einem Kreis eingeschrieben. Finden Sie den Wert von $\frac{N}{100}$.

Question

Lassen $P$ sei ein $30$-seitiges Polygon in einem Kreis eingeschrieben. Es gibt$N$ Anzahl der Dreiecke, deren Eckpunkte die Eckpunkte von sind $P$ so dass zwei beliebige Eckpunkte jedes Dreiecks durch mindestens drei andere Eckpunkte bei getrennt sind $P$. Finden Sie den Wert von$\frac{N}{100}$.

Was ich versucht habe : Dies ist eher ein kombinatorisches Problem als ein Geometrieproblem. Hier ist also, was ich denke.

Fixieren Sie zuerst einen Punkt eines Dreiecks. Der nächste Punkt kann in gewählt werden$23$Wege. Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das wählen soll$3$rd Punkt, wie für die Auswahl der $2$nd Punkt gibt es auch leichte Abweichungen, die nicht der Regel folgen.

Ich habe vorher darüber nachgedacht, einen Punkt und dann den nächsten zu fixieren $2$ Punkte können in gewählt werden ${23}\choose{2}$ Wege, aber dann wurde mir klar, dass das seitdem falsch ist $2$ Punkte haben möglicherweise keine $3$ Punktlücke, und ich konnte nicht verstehen, wie ich hier vorankommen sollte.

Wie immer weiß ich auch, dass die Anzahl der Dreiecke auf einem $n$-seitiges Polygon ohne gemeinsame Seiten wird durch die Formel gegeben: - $$\rightarrow\frac{n(n-4)(n-5)}{6}$$ Die Gesamtzahl der Dreiecke beträgt also $3250$, aber ich bin nicht sicher, wie diese Tatsache bei diesem Problem helfen wird.

Kann mir jemand helfen? Dankeschön.

Answer 1

Wählen Sie einen beliebigen Punkt und nennen Sie ihn $A_1$. Beschriften Sie die Punkte gegen den Uhrzeigersinn$A_2,\ldots,A_{30}$ .

Der zweite Scheitelpunkt kann ein beliebiger sein $A_5$ zu $A_{27}$.

Wenn der zweite ist $A_5$Der dritte Scheitelpunkt kann ein beliebiger sein $A_9$ zu $A_{27}$. Das ist$19$ Wege.

Wenn der zweite ist $A_6$Der dritte Scheitelpunkt kann ein beliebiger sein $A_{10}$ zu $A_{27}$. Das ist$18$ Wege.

Und so weiter. Anzahl der Dreiecke$= 19+18+17+\ldots+1$

Wir könnten an jedem Punkt als erster Scheitelpunkt beginnen, also ist dies erwünscht $$\dfrac{19\cdot20}{2} \cdot \dfrac{30}{3}$$

Wenn wir zumindest gehen würden $k$ Punkte zwischen benachbarten Eckpunkten, nach der gleichen Logik, die wir erhalten $$\dfrac{n(n-3k-1)(n-3k-2)}{6}$$

für angemessen $k$. Schon seit$3k+2$ Die Anzahl der Punkte wird zuerst weggelassen, wenn der zweite Scheitelpunkt ist $A_{k+2}$.

Answer 2

Ein alternativer Ansatz ist die Verwendung der Stern- und Balkenmethode.

Wir können anstelle von Dreiecken verallgemeinern und betrachten, $k$-seitige Polygone. Auch lassen$d$ sei der minimale "Abstand" zwischen den Eckpunkten dieser $k$-seitige Polygone, wobei "Abstand" die Anzahl der inneren Eckpunkte plus eins ist. In unserem Fall haben wir$k = 3$ und $d = 4$. Das Problem besteht also darin, die Anzahl der Lösungen zu finden für:

$$ x_1 + x_2 + \ldots + x_{k-1} + x_k = n$$

wo $x_i, i=1,\ldots,k$ sind die "Abstände" zwischen den Eckpunkten der $k$-seitige Polygone mit der Einschränkung:

$$x_i \ge d, i=1,\ldots,k$$

Wir können definieren $y_i = x_i+d, i=1,\ldots,k$und dann wird die erste Gleichung:

$$y_1 + y_2 + \ldots + y_{k-1} + y_k = n-kd$$

mit $y_i \ge 0, i=1,\ldots,k$. Daher sind nach der Stern- und Balkenmethode die Lösungen für jeden Scheitelpunkt:

$${n-kd+k-1 \choose k-1}$$

und da sind $n$ Eckpunkte, aber jeder $k$-seitiges Polygon ist gemeinsam mit $k$ von ihnen ist die endgültige Lösung:

$${n-kd+k-1 \choose k-1}\frac{n}{k}={30-3\cdot4+3-1 \choose 3-1}\frac{30}{3}={20 \choose 2}\frac{30}{3}=1900$$