Lokales Verhalten eines Moduls, das an einem Hauptideal lokalisiert ist

Question

Lassen $R$ ein kommutativer Ring sein und $p,q$ zwei Hauptideale von sein $R$ mit $q\subset p$. Wir wissen$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $als Ringe. Lassen$M$ Bohne $R$-Modul. Ist es wahr dass$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ wie $R_q$-Module?

Answer 1

Gegeben $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ und $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$, wir haben

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

welches den gewünschten Isomorphismus zeigt.