Maxima und Minima von $\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ ohne Kalkül

Nov 20 2020

So finden Sie die Minimal- und Maximalwerte von $y=\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ für alle realen Werte von $x$ ohne Kalkül?

Vielleicht könnte es grafisch gemacht werden, indem man die Tatsache bemerkt, dass der Zähler und der Nenner ein Paar von Parabeln sind, die symmetrisch zu dem sind $x$ Achse, aber ich weiß nicht, wie ich weitermachen soll.

Vielen Dank!

Antworten

6 TobyMak Nov 20 2020 at 08:20

Lassen Sie das Maximum von $f(x) = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ Sein $m$. Dann:

$$x^2-3x+4 = mx^2 + 3mx + 4m$$ $$(m-1)x^2 + (3m+3)x + (4m - 4) = 0$$

Wir wollen, dass diese Gleichung nur eine echte Wurzel hat (eine Doppelwurzel), also: $$\Delta = 0 \Rightarrow (3m+3)^2-4(m-1)(4m-4) = 0.$$

Ein ähnlicher Prozess für das Minimum ($n$) ergibt die gleiche Gleichung wie das Multiplizieren mit $-1$ ändert die Werte von nicht $m$. Daher sind sowohl die Maximal- als auch die Minimalwerte durch diese Gleichung gegeben.

5 labbhattacharjee Nov 20 2020 at 09:07

$$\dfrac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}=1-\dfrac{6x}{x^2+3x+4}=1-\dfrac6{x+\dfrac4x+3}$$

Nun wenn $x>0, x+\dfrac4x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=4$

$\implies\dfrac1{x+\dfrac4x+3}\le\dfrac17\implies-\dfrac6{x+\dfrac4x+3}\ge-\dfrac67$

Wenn $x<0, x=-y, y>0, x+\dfrac4x=-\left(y+\dfrac4y\right)$

Kannst du es von hier nehmen?

2 AlbusDumbledore Nov 20 2020 at 08:19

Hinweis wir haben $$\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}=y$$ $$x^2(y-1)+x(3y+3)+4y-4=0$$Setzen Sie die Diskriminante größer oder gleich Null

1 Argon Dec 27 2020 at 02:31

Sie gaben nicht an, dass Kalkül nicht verwendet werden darf, aber ich war neugierig, ob es auf einfachere Weise gelöst werden könnte - Monocerotis 20. November um 8:19 Uhr

Danke Mann, du hast mich vor viel Differenzierung und Substitution bewahrt - Monocerotis 20. November um 8:46

Der einfachste Weg, um Ihr Problem zu lösen, ist die Verwendung von Kalkül:

Durch Anwenden der Quotientenregel erhalten Sie:$y'(x)=(\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4})'=\frac{(2x-3)(x^2+3x+4)-(2x+3)(x^2-3x+4)}{(x^2+3x+4)^2}$.

Nach dem Setzen der Bedingung $y'(x)=0$ und Erweitern des Zählers von $y'(x)$erhalten Sie:

$x^2-4=0$, deren Lösungen sind:

$x_1=2$ und $x_2=-2$.

Abschließend:

$y_{max}=7$ (zum $x=-2$) und $y_{min}=\frac{1}{7}$ (zum $x=2$).