Monoidale Kategorien, deren Tensor einen linken Zusatz hat
Gibt es einen Namen für monoidale Kategorien? $(\mathscr V, \otimes, I)$ so dass $\otimes$ hat einen linken Adjunkt $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? Wurden sie irgendwo studiert? Was sind einige interessante Beispiele?
Ein paar Bemerkungen: wann $I : 1 \to \mathscr V$ hat dann einen linken Adjunkt $\mathscr V$ist semikartesisch, dh die Einheit ist terminal. Wann$\otimes$ hat einen linken Zusatz, der außerdem die Diagonale ist $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, dann $\mathscr V$ hat binäre Produkte.
Ich werde die Definition hier auspacken, um die Struktur expliziter zu machen. Lassen$(\mathscr V, \otimes, I)$ eine monoidale Kategorie sein. $\otimes$ hat einen linken Zusatz, wenn wir folgendes haben.
- Endofunktoren $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ und $r : \mathscr V \to \mathscr V$;;
- für jedes Paar von Morphismen $f : \ell(X) \to Y$ und $g : r(X) \to Z$ein Morphismus $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;;
- für jeden Morphismus $h : X \to Y \otimes Z$Morphismen $h_\ell : \ell(X) \to Y$ und $h_r : r(X) \to Z$,
so dass für alle $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ und $z : Z \to Z'$, wir haben $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
Antworten
Nur um das aufzuräumen $\epsilon$Nach Qiaochus Antwort bleibt noch Platz - wir können die zusätzlichen Hypothesen loswerden. ich werde schreiben$I$ für die Monoideinheit und $1$ für das Terminalobjekt.
Annehmen, dass $(\ell,r) \dashv \otimes$. Dann die natürlichen Isomorphismen$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ durch Ergänzung Karten entstehen lassen $\ell A \to I$ und $r A \to I$, natürlich in $A$. Wir haben auch eine Einheitenkarte$A \to (\ell A) \otimes (r A)$, natürlich in $A$. Beim Zensieren und Komponieren erhalten wir eine Karte$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$, natürlich in $A$. Das heißt, wir haben einen Kokon (mit Scheitelpunkt)$I$) auf dem Identitätsfunktor für $V$. Daraus folgt die idempotente Vervollständigung$\tilde V$ von $V$gibt es ein Terminalobjekt (das ein Rückzug von sein muss $I$).
Nun die idempotente Vollendung $\tilde V$ hat wieder eine monoidale Struktur $\tilde \otimes$ mit einem linken Adjunkt $(\tilde \ell, \tilde r)$. Der erste Teil von Qiaochus Eckmann-Hilton-Argument kann also ausgeführt werden$\tilde V$:: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (Im dritten Ausdruck existieren die Produkte trivial, und im vierten Ausdruck existiert das Produkt, weil $\otimes$konserviert Produkte). Das heißt, wir müssen haben$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. Aber$I_{\tilde V}$ ist das Bild von $I_V$ im $\tilde V$und die Einbeziehung in die idempotente Vervollständigung spiegelt Terminalobjekte wider. Deshalb$V$ hat ein Terminalobjekt und $1_V = I_V$.
Dann kann, wie in den obigen Kommentaren festgestellt, der zweite Teil von Qiaochus Eckmann-Hilton-Argument ausgeführt werden $V$:: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (Im zweiten Ausdruck existieren die Produkte trivial, und im dritten Ausdruck existiert das Produkt, weil $\otimes$konserviert Produkte). Das heißt, binäre Produkte existieren in$V$ und stimme zu $\otimes$. Tatsächlich ist der Identitätsfunktor ein oplaxer Monoidfunktor von$(V,\otimes)$ zu $(V,\times)$, was das Argument zeigt, ist tatsächlich stark monoidal. So$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ als monoidale Kategorien.
Wenn $\otimes : V \times V \to V$ hat einen linken Zusatz und $V$ hat dann endliche Produkte $\otimes$ bewahrt sie in dem Sinne, dass die natürliche Karte
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
ist ein Isomorphismus. Durch eine monoidal-kategorische Version des Eckmann-Hilton-Arguments scheint mir dies dies zu implizieren$\otimes$ist das Produkt. Explizit, wenn wir lassen$1_{\times}$ bezeichnen das Terminalobjekt und $1_{\otimes}$ bezeichnen die monoidale Einheit, dann erhalten wir Isomorphismen
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
so $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(und dieser Isomorphismus ist einzigartig, wenn er existiert, so dass wir uns nicht einmal allzu viele Sorgen um die Natürlichkeit machen müssen). Jetzt können wir die empörenden Indizes löschen und uns einfach darauf beziehen$1$. Dies ergibt einen natürlichen Isomorphismus
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
für jeden $X, Y$. Eigentlich bin ich mir nicht sicher, ob dieses Argument zeigt, dass der Assoziator und Unitor von$\otimes$ stimmen mit dem Assoziator und Unitor des Produkts überein, aber ich würde vermuten, dass eine ausführlichere Version dieses Arguments dies tut.
Ich weiß nicht, ob das möglich ist $V$hat keine endlichen Produkte. (Früher gab es hier ein Argument bezüglich der Tagesfaltung, aber Tim hat in den Kommentaren auf Lücken hingewiesen.)