Multiplikatives System eines Rings und einer Kategorie
Wenn A eine Kategorie ist, eine Klasse von Morphismen$S$in A soll ein multiplikatives System sein, ob$(a)$ Es ist durch Komposition geschlossen, das heißt: $id_X$ ist in $S$ für jeden $X$in A und wann immer$f$ und $g$sind Morphismen in A so, dass die Zusammensetzung$gf$ macht dann Sinn $gf$ ist in $S$;; $(b)$ jedes Diagramm des Formulars $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ mit $s$ im $S$ kann als abgeschlossen werden $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} with$t$ im $S$. Das gleiche gilt auch für alle umgekehrten Pfeile. Schließlich$(c)$ für ein Paar Morphismen $f,g:X\to Y$ es gibt $s$ im $S$ mit $sf=sg$ genau dann, wenn es existiert $t$ im $S$ mit $ft=gt$.
Meine Frage ist: Stimmt diese Definition mit dem Begriff der multiplikativ geschlossenen Menge für jeden Ring überein ?$R$ wenn wir schauen $R$als Ab- Kategorie mit nur einem Objekt? Sicherlich Bedingung$(a)$ bietet genau das, was wir uns für eine multiplikativ geschlossene Menge wünschen (das ist eine Teilmenge) $S\subseteq R$ so dass $1\in S$ und $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), und wenn $R$ ist kommutativ, $(b)$ und $(c)$ offensichtlich werden, aber im Fall eines nicht kommutativen Rings kann ich keinen Beweis für diese Bedingungen finden.
Könnte jemand einen Beweis oder ein Gegenbeispiel liefern? Wenn ein Gegenbeispiel die Antwort ist, gibt es einen tiefgreifenden Grund, warum es nur im kommutativen Fall funktioniert, oder ist es der Begriff des multiplikativen Systems, das nur zur Verallgemeinerung dieser Fälle entworfen werden soll?
Antworten
Ja, es fällt zusammen, aber eher trivial (im kommutativen Fall).
Sehen Sie Ihren (kommutativen unitalen) Ring $R$als Kategorie wie folgt. Das$R$-Modul Aktion von $R$ an sich induziert einen Morphismus $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, so können wir die Kategorie mit einem Objekt betrachten (nämlich $R$) und die Menge der Morphismen ist $\iota(R)$. Die Tatsache, dass dies eine$\mathbf{Ab}$-Kategorie ist Teil der Axiome eines Rings. Der Ring muss einheitlich sein, damit der Identitätsmorphismus vorhanden ist, und die Kommutativität gibt Ihnen die anderen Axiome. Zum Beispiel, wenn Sie gegeben sind$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} Sie erhalten grundsätzlich zwei Elemente des ursprünglichen Rings$R$. Das Diagramm kann leicht vervollständigt werden, wenn man dies annimmt$R$ ist da kommutativ $sf = fs$ führt zum kommutativen Diagramm $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} Aussage (c) wird in ähnlicher Weise durch Nehmen bewiesen$t=s$. Ich weiß nicht, wie man nicht kommutative Ringe in Teilmengen lokalisiert$S$ im Allgemeinen, aber ich würde wetten, wenn diese Ideen Sinn machten, dann die Lokalisierung $S^{-1}R$ würde existieren wenn $R$ist in dem speziellen Fall, in dem diese kategorialen Axiome erfüllt sind, nicht kommutativ, aber nicht im Allgemeinen. Ich habe dies gelesen , um etwas über die nicht kommutative Lokalisierung zu erfahren, und es fühlt sich nicht so inspirierend an wie das kommutative Gegenstück.
Hoffentlich hilft das,