Muss ich die Sequenz von analysieren? $ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}$ ohne eine Gleichung mit $0$?
Ich habe ein Problem mit Übungen mit Sequenzen, die durch Rekursion gegeben werden, wenn ich "Konvergenz beweisen und Grenzen finden muss, wenn sie existiert", und ich bekomme eine Rekursion dieser Art:
$$ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}, x_1 \in (0 ; \infty)$$
Es ist ziemlich einfach, das Limit zu finden - ich gehe nur davon aus, dass das Limit in existiert $ \mathbb{R}$ und dann arithmetische Eigenschaften von Grenzwerten verwenden: $$\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_{n}$$ $$\lim_{n \to \infty} x_{n} = l, l \in \mathbb{R}>0$$
Meine Rekursion nehmen: $$l = \frac{1}{2 + l}$$ $$l^2 +2l - 1 = 0$$ $$l_1 = \sqrt{2} - 1 \in D$$ $$l_2 = -1 - \sqrt{2} \notin D$$
Also meine einzig mögliche Grenze in $ \mathbb{R}$ ist $l = \sqrt{2} - 1$. Das heißt, wenn ich tatsächlich beweisen kann, dass die Grenze existiert - das heißt: Die Sequenz ist eintönig und begrenzt. Und hier ist mein Problem - es ist einfach unmöglich, ohne Computer den Unterschied zu analysieren:
$$x_{1+n} - x_{n} = \frac{1}{2 + x_{n}} - x_{n}$$
Auf der Suche nach Grenzen multipliziere ich einfach beide Seiten der Gleichung mit $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = l$ und es ist unmöglich, dies hier zu tun, also bekomme ich: $$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$$
Dann kann ich nicht sagen, wann es größer ist als $0$ Monotonie zu analysieren und ich kann nicht sehen, für welche Werte o $n$ welche Werte von $n+1$ Ich bekomme (um die Grenze zu bekommen), weil der Min-Wert verrückt wird.
Also wollte ich nur fragen - vermisse ich etwas? Ist es möglich hier zu machen$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$ eine Gleichheit mit $0$ und einfachere Funktion analysieren (rote auf dem Bild)?

Antworten
Dies ist eine Möbius-Transformation . Sobald Sie die Wurzeln bekommen$l_1, l_2$ der charakteristischen Funktion $l^2+2l-1=0$, es folgt dem $1-2l_1=l_1^2$ und $1-2l_2=l_2^2$. Dann
$$ x_{n+1}-l_1 = \frac{1}{2+x_n}-l_1 = \frac{1-2l_1-l_1 x_n}{2+x_n} = \frac{l_1^2-l_1 x_n}{2+x_n} = -l_1 \frac{x_n-l_1}{2+x_n} \tag 1 $$
Ähnlich $$ x_{n+1}-l_2 = -l_2 \frac{x_n-l_2}{2+x_n} \tag 2 $$
$(1) \div (2)$ (Sie können dies tun, weil $x_n>0>l_2$), $$ \frac{x_{n+1}-l_1}{x_{n+1}-l_2} = \frac{l_1}{l_2}\cdot \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} $$
Deshalb $\frac{x_n-l_1}{x_n-l_2}$ ist eine geometrische Folge,
$$ \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} = \left(\frac{l_1}{l_2} \right)^{n-1} \cdot \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2} \tag3 $$
Dann $$x_n=\frac{l_1-\frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left( \frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \cdot l_2}{1- \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1}}$$
Wie $n\to \infty, \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \to 0, x_n \to l_1 = \sqrt 2 - 1$.
Informationen zum Lösen mithilfe von Matrizen finden Sie hier .
$$X_{n+1}=\frac{1}{2+X_n} \implies 2 X_{n+1}+X_{n+1}X_n=1$$ Lassen $X_n=\frac{Y_{n-1}}{Y_n}$, dann $$2 \frac{Y_{n}}{Y_{n+1}}+\frac{Y_n}{Y_{n+1}}\frac{Y_{n-1}}{Y_n}=1 \implies 2Y_n+Y_{n-1}=Y_{n+1}.$$ Lassen $Y_n=t \implies t^2-2t-1=0 \implies t=1\pm \sqrt{2}.$ Damit $$Y_n=p(1+\sqrt{2})^n+q (1-\sqrt{2})^{n} $$ $$\implies X_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{n-1}+r(1-\sqrt{2})^{n-1}}{(1+\sqrt{2})^{n}+r(1-\sqrt{2})^{n}}, r=q/p.$$ $$\lim_{n \to \infty}X_{\infty}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$
Obwohl $x_1$ kann eine beliebige positive Zahl sein, wobei alle Begriffe ab beginnen $x_2$ sind kleiner als $\frac 12$kann also nicht weit von deinem Limit entfernt sein. Ein Ansatz, der nützlich sein kann, besteht darin, einen Term als Limit plus einen Fehlerterm zu schreiben$x_i=\sqrt 2-1+\epsilon$ Dann $$x_{i+1}=\frac 1{2+x_i}=\frac 1{1+\sqrt 2 + \epsilon}\\ x_{i+1}=\frac{\sqrt 2-1}{1+(\sqrt 2-1)\epsilon}\\ x_{i+1}\approx (\sqrt 2-1)-(\sqrt 2-1)^2\epsilon$$ wo ich die Annäherung erster Ordnung an verwendet habe $\frac 1{1+\epsilon}$. Wir sehen daraus, dass der Fehler um einen Faktor von ungefähr verringert wird$6$Bei jedem Schritt konvergiert die Sequenz. Um formeller zu sein, können Sie den Fehler von oben mit der Tatsache begrenzen, dass$x_i \in (0,\frac 12)$. Sie werden nicht so schnell einen Rückgang bekommen, aber jeden Faktor kleiner als$1$ ist gut genug.