Nicht zusammensetzbare integrale Darstellungen einer Gruppe der Ordnung 2 "von Hand"
Diese Frage ist ein Duplikat dieser MO-Frage von 2010 .
Ich interessiere mich für die Klassifizierung von Isomorphismusklassen von $n$-dimensionale integrale Darstellungen der zyklischen Gruppe $C_2$ der Ordnung $2$. Klar, jede integrale Darstellung von$C_2$ist eine direkte Summe von unzerlegbaren Integraldarstellungen.
Das folgende Ergebnis ist bekannt:
Satz. Die Gruppe$C_2$ hat genau 3 Isomorphismusklassen von nicht zusammensetzbaren Integraldarstellungen:
(1) trivial;
(2) die Zeichendarstellung;
(3) die zweidimensionale Darstellung mit Matrix $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$
Dieses Ergebnis wurde in der Antwort von Victor Protsak angegeben . Siehe auch die Antwort von Todd Leason .
In seinem Kommentar gibt Victor Protsak einen Hinweis. Er schreibt: "Curtis und Reiner, Kapitel 11. Es ist ein Sonderfall eines Satzes in Abschnitt 74, der integrale Darstellungen von zyklischen Gruppen erster Ordnung klassifiziert. Natürlich ist dieser Fall viel einfacher und kann von Hand durchgeführt werden."
Frage. Wie kann man den obigen Satz "von Hand" ohne Bezugnahme auf das Buch von Curtis und Reiner beweisen?
Motivation: Ich arbeite jetzt mit Algebra$\mathbb R$-tori. Sie werden durch integrale Darstellungen der Galois-Gruppe klassifiziert${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, das ist eine Gruppe von Ordnung $2$. Um die bekannte Klassifikation von nicht zusammensetzbar zu verstehen$\mathbb R$-tori, ich muss die bekannte Klassifikation von nicht zusammensetzbaren integralen Darstellungen von verstehen ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.
Ich habe diese scheinbar elementare Frage in Mathematics StackExchange gestellt , aber keine Antworten oder Kommentare erhalten. Deshalb stelle ich sie hier.
Antworten
In Computing with real tori hat Casselman eine schöne Zusammenfassung dieses Theorems unter dem Gesichtspunkt, nicht nur zu beweisen, dass dies die einzigen nicht zusammensetzbaren Tori sind, sondern vorausgesetzt, Sie erhalten eine explizite integrale Darstellung von$\operatorname C_2$explizites Finden / Berechnen seiner Zerlegung in diese drei Darstellungen.
In der Tat, wenn Sie (Sie der allgemeine Leser, nicht unbedingt @MikhailBorovoi) nicht mit Bill Casselmans jüngster Arbeit vertraut sind, lohnt es sich, seine Seite zu lesen http://www.math.ubc.ca/~cass;; Er war eine Weile sehr daran interessiert, tatsächliche Berechnungen durchzuführen, im Sinne von Dingen, die in einen Computer eingespeist werden können und sich auf algebraische Gruppen beziehen. Das Obige ist ein Beispiel; andere finden Sie unterhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, Darunter zum Beispiel die Berechnung von Strukturkonstanten nach Jacques Tits -things , dass wir alle wissen , kann getan werden , aber die meisten von uns (zumindest ich!) Von tatsächlich schrumpfen würde tun , hier angelegt in einer Weise , die zeigt , wie es praktisch auszuführen.
(Es gibt auch ein paar nette Sachen über mathematische Grafiken !)