Normale Abdeckungsräume - äquivalente Definitionen für verbundene Räume
Ein abdeckender Raum $p: Y \to X$ist normal, wenn für alle$ x \in X$ und für alle $x_1', x_2' \in p^{-1}(x)$ Es gibt eine Decktransformation $\phi$ mit $x_2' = \phi(x_1')$.
Ich werde gebeten, das zu zeigen, wenn $X$ist angeschlossen , dann ist diese Bedingung äquivalent zu der Aussage , dass es ein solches vorhanden ist$x_0 \in X$ so dass für alle $x_1', x_2' \in p^{-1}(x_0)$gibt es eine Deckumwandlung $x_1'$ zu $x_2'$. Eine Richtung ist einfach, die andere, mit der ich Probleme habe.
Ich habe darüber nachgedacht, das Set zu definieren $A$ die Menge der Punkte in sein $X$für die es Punkte in seiner Faser gibt, die nicht zugeordnet sind, um andere durch irgendeine Decktransformation zu lehren. Wenn ich das zeigen kann$A$ist sowohl offen als auch geschlossen, dann bin ich fertig. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich das zeigen soll. Ist dies der richtige Ansatz und wenn ja, wie soll ich fortfahren?
Antworten
Sag das $x\in X$ hat Eigentum $(\star)$ wenn wann immer $y_1,y_2\in p^{-1}(x)$ Es gibt eine Decktransformation $\phi:Y\rightarrow Y$ mit $\phi(y_1)=y_2$.
Annehmen $x_0\in X$ hat $(\star)$. Dann irgendein Punkt$x$ in einer Nachbarschaft enthalten $U\subseteq X$ von $x_0$ worüber $p$ ist auch trivial $(\star)$. Wenn$V\subset X$ ist eine zweite offene Teilmenge von $X$ worüber $p$ ist trivial und $U\cap V\neq\emptyset$Dann gibt es einen Punkt $x\in V\cap U\subseteq V$ mit $(\star)$, also durch die vor allem Punkte von $V$ haben $(\star)$.
Nehmen wir das an $U_1,\dots, U_n\subseteq X$ ist eine endliche Kette offener Teilmengen, so dass $1)$ $x_0\in U_1$, $2)$ $U_i\cap U_{i+1}\neq\emptyset$ für jeden $i=1,\dots,{n-1}$, $3)$ $p$ ist über jeden trivialisierbar $U_i$. Indem wir die vorherige Beobachtung einführen, sehen wir, dass jeder Punkt von jedem$U_i$ hat $(\star)$und insbesondere jeden Punkt von $U_n$ hat $(\star)$.
Die Grundidee ist offensichtlich. Um zu vervollständigen, müssen wir zeigen, wie zwei beliebige Punkte von$X$ kann durch eine endliche Kette trivialisierender offener Mengen verbunden werden, wenn sie verbunden sind.
Für die Details lassen $\mathcal{U}$ eine offene Abdeckung von sein $X$. Zum$V\in\mathcal{U}$ stellen $$\mathcal{U}(V)=\{W\in\mathcal{U}\mid \exists\, U_1,\dots,U_n\in\mathcal{U},\, V\cap U_1\neq\emptyset,\;W\cap U_n\neq\emptyset,\;U_i\cap U_{i+1}\neq\emptyset,\;\forall i=1,\dots,n-1\}$$ und schreibe $\widetilde V=\bigcup_{U\in\mathcal{U}(V)}U$. Beachten Sie, dass wenn$V_1,V_2\in\mathcal{U}$, dann $\widetilde V_1\cap\widetilde V_2\neq\emptyset$ dann und nur dann, wenn $\mathcal{U}(V_1)=\mathcal{U}(V_2)$ dann und nur dann, wenn $\widetilde V_1=\widetilde V_2$. So$\{\widetilde V\mid V\in\mathcal{U}\}$ ist eine Abdeckung von $X$ durch paarweise disjunkte Clopen-Sets.
Nehmen wir schließlich an, dass $X$Ist verbunden. Wir nehmen$\mathcal{U}$ eine Abdeckung von sein $X$ durch offene Mengen, die trivialisieren $p$. Das obige Argument zeigt das$\{\widetilde V\mid V\in\mathcal{U}\}$ enthält den einzelnen Satz $X$. Also zwei beliebige Punkte von$X$ sind durch eine endliche Kette von Mengen in verbunden $\mathcal{U}$. Zurück zu den offenen Absätzen sehen wir, wenn überhaupt$x_0\in X$ hat Eigentum $(\star)$dann auch jeder andere Punkt.
Ihr Ansatz ist richtig, aber soweit ich sehen kann, brauchen Sie weitere Annahmen $X$.
Anruf $x \in X$ein normaler Punkt von$p$ wenn für alle $y_1, y_2 \in p^{-1}(x)$ Es gibt eine Decktransformation $\phi$ mit $y_2 = \phi(y_1)$. Lassen Sie uns zunächst Folgendes beweisen
Lemma. Lassen$U$eine gleichmäßig abgedeckte verbundene offene Teilmenge von sein$X$. Wenn einige$\xi \in U$ ist ein normaler Punkt von $p$, dann alle $x \in U$ sind normale Punkte von $p$.
$p^{-1}(U)$ ist die disjunkte Vereinigung von offen $V_\alpha \subset Y$ die von abgebildet werden $p$ homöomorph auf $U$ ("Blattzerlegung von $p^{-1}(U)$"). Das $V_\alpha$ sind die verbundenen Komponenten von $p^{-1}(U)$. Lassen$x \in U$ und $y_i \in p^{-1}(x)$. Es gibt einzigartige$\alpha_i$ so dass $y_i \in V_{\alpha_i}$. Lassen$\eta_i \in p^{-1}(\xi)$ sei der einzigartige Punkt in $V_{\alpha_i}$. Es gibt eine Decktransformation$\phi$ so dass $\eta_2 = \phi(\eta_1)$. Der Satz$\phi(V_{\alpha_1})$ ist eine verbundene Komponente von $p^{-1}(U)$ so dass $\eta_2 = \phi(\eta_1) \in \phi(V_{\alpha_1})$. So$\phi(V_{\alpha_1}) = V_{\alpha_2}$. Deshalb$y_2 = \phi(y_1)$.
Warum brauchen wir die Verbundenheit von $U$? Im nicht verbundenen Fall ist die Blattzerlegung von$p^{-1}(U)$ist nicht eindeutig (siehe Abdecken von Projektionen: Was sind die Blätter über einem gleichmäßig abgedeckten Satz? ), also die Blattzerlegung$\{\phi(V_\alpha) \}$ von $p^{-1}(U)$ kann abweichen von $\{V_\alpha \}$ und wir können daraus nicht schließen $\phi(V_{\alpha_1}) = V_{\alpha_2}$. Daher können wir das nicht sicher sein$y_2 = \phi(y_1)$. Natürlich kann es eine Decktransformation geben$\phi'$ so dass $y_2 = \phi'(y_1)$, aber es gibt keine allgemeine Strategie, um es zu finden (und vielleicht ist es anders als $\phi$).
Sie könnten das argumentieren $p^{-1}(U) \approx U \times F$ mit einem diskreten $F$, also sicher alle $x \in U$ sind normale Punkte der trivialen Abdeckung $p_U : p^{-1}(U) \to U$. Das heißt für alle$x \in U$ und alles $y_i \in p^{-1}(x)$ Es gibt eine Decktransformation $\phi_U$ zum $p_U$ mit $y_2 = \phi_U(y_1)$. Es gibt jedoch keinen Grund, dies anzunehmen$\phi_U$ erstreckt sich auf Deck Transformation für $p$.
Nehmen wir das jetzt an $X$ist lokal verbunden .
Lassen $N$ bezeichnen die Menge der Normalpunkte von $p$. Seit jeder$x \in X$ hat eine gleichmäßig bedeckte zusammenhängende offene Nachbarschaft, das obige Lemma zeigt das $N$ und $X \setminus N$ sind offen in $X$. So$N = X$.